第二节可分离变量的微分方程

（优选）第二节可分离变量的微分方程当前第1页\共有19页\编于星期三\10点一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设

y=(x)

是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有当前第2页\共有19页\编于星期三\10点当

G(y)与F(x)可微且

G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.当前第3页\共有19页\编于星期三\10点一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解当前第4页\共有19页\编于星期三\10点例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得当前第5页\共有19页\编于星期三\10点例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得当前第6页\共有19页\编于星期三\10点解分离变量,得两端积分,得解得当前第7页\共有19页\编于星期三\10点解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:当前第8页\共有19页\编于星期三\10点解

根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.

t

足够大时当前第9页\共有19页\编于星期三\10点解分离变量,解得然后积分:当前第10页\共有19页\编于星期三\10点可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：当前第11页\共有19页\编于星期三\10点分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.当前第12页\共有19页\编于星期三\10点(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤当前第13页\共有19页\编于星期三\10点思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为当前第14页\共有19页\编于星期三\10点练习题当前第15页\共有19页\编于星期三\10点当前第16页\共有19页\编于星期三\10点练习题答案当前第17页\共有19页\编于星期三\10点例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度当前第1