第九讲弹性力学基础演示文稿

第九讲弹性力学基础演示文稿当前第1页\共有81页\编于星期三\9点优选第九讲弹性力学基础当前第2页\共有81页\编于星期三\9点当前第3页\共有81页\编于星期三\9点当前第4页\共有81页\编于星期三\9点当前第5页\共有81页\编于星期三\9点当前第6页\共有81页\编于星期三\9点当前第7页\共有81页\编于星期三\9点两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形，弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。叠加原理当前第8页\共有81页\编于星期三\9点当前第9页\共有81页\编于星期三\9点叠加原理的例子1：非均匀应力边界条件的求解当前第10页\共有81页\编于星期三\9点地震断层同震位错反演Shenetal.,NATUREGEOSCIENCE,2009叠加原理的例子2：利用地表GPS变形资料反演地震断层位错当前第11页\共有81页\编于星期三\9点叠加原理的例子3：利用地表GPS同震变形资料反演地震断层地震力当前第12页\共有81页\编于星期三\9点当前第13页\共有81页\编于星期三\9点当前第14页\共有81页\编于星期三\9点当前第15页\共有81页\编于星期三\9点当前第16页\共有81页\编于星期三\9点当前第17页\共有81页\编于星期三\9点当前第18页\共有81页\编于星期三\9点当前第19页\共有81页\编于星期三\9点当前第20页\共有81页\编于星期三\9点几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。当前第21页\共有81页\编于星期三\9点当前第22页\共有81页\编于星期三\9点当前第23页\共有81页\编于星期三\9点当前第24页\共有81页\编于星期三\9点当前第25页\共有81页\编于星期三\9点当前第26页\共有81页\编于星期三\9点当前第27页\共有81页\编于星期三\9点物理意义：

－－表示物体绕原点的刚体转动。－－表示x，y向的刚体平移，当前第28页\共有81页\编于星期三\9点当前第29页\共有81页\编于星期三\9点当前第30页\共有81页\编于星期三\9点当前第31页\共有81页\编于星期三\9点当前第32页\共有81页\编于星期三\9点当前第33页\共有81页\编于星期三\9点当前第34页\共有81页\编于星期三\9点当前第35页\共有81页\编于星期三\9点当前第36页\共有81页\编于星期三\9点当前第37页\共有81页\编于星期三\9点当前第38页\共有81页\编于星期三\9点当前第39页\共有81页\编于星期三\9点当前第40页\共有81页\编于星期三\9点当前第41页\共有81页\编于星期三\9点平面域A内的基本方程:(2)几何方程(3)物理方程平面应力问题的求解(1)平衡微分方程当前第42页\共有81页\编于星期三\9点应力边界条件

位移边界条件

（在上）（在上）边界条件：

8个未知函数必须，满足上述方程和边界条件。三大方程和边界条件：平面应力问题的定解问题。当前第43页\共有81页\编于星期三\9点平面应力问题的位移解法按位移求解⑵将其他未知函数用u,v表示：

应变用u,v表示─几何方程;

应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用u,v表示:⑴取u,v为基本未知函数；当前第44页\共有81页\编于星期三\9点当前第45页\共有81页\编于星期三\9点⑶在A中导出求u,v的基本方程─将式(a)

代入平衡微分方程，上式是用u,v表示的平衡微分方程。当前第46页\共有81页\编于星期三\9点位移边界条件

（在上）(d)（在上）(c)应力边界条件─将式(a)代入应力边界条件，⑷在S上的边界条件当前第47页\共有81页\编于星期三\9点归纳：(c)(d)

按位移求解时，u,v必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。式(b)，(c)，(d)－－是求解u,v的条件;也是校核u,v是否正确的全部条件。当前第48页\共有81页\编于星期三\9点

按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广─可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。当前第49页\共有81页\编于星期三\9点例1

考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。当前第50页\共有81页\编于星期三\9点解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为当前第51页\共有81页\编于星期三\9点均属于位移边界条件，代入v，得得解出当前第52页\共有81页\编于星期三\9点在处，代入v，并求出形变和应力，当前第53页\共有81页\编于星期三\9点（1）取为基本未知函数；平面应力问题的应力解法（2）其他未知函数用应力来表示:应变用应力表示（物理方程）。位移用应变─应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即。当前第54页\共有81页\编于星期三\9点⑶在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移u,v，得相容方程（形变协调条件）：

补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)平面应力问题的应力解法当前第55页\共有81页\编于星期三\9点代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中

(4)应力边界条件－－假定全部边界上均为应力边界条件。平面应力问题的应力解法当前第56页\共有81页\编于星期三\9点（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界Sσ上的应力边界条件.（1）-（3）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力必须满足下列条件：归纳：当前第57页\共有81页\编于星期三\9点⑴相容方程(a)1.常体力情况下按应力求解的条件(b)⑵平衡微分方程常体力情况下的简化应力函数⑶应力边界条件(c)当前第58页\共有81页\编于星期三\9点在⑴-⑶条件下求解的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故与弹性常数无关。2.在⑴常体力,⑵单连体,⑶全部为应力边界条件（）下的应力特征：当前第59页\共有81页\编于星期三\9点结论：①不同材料的应力()的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。②两类平面问题的应力解相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。在⑴常体力,⑵单连体,⑶全部为应力边界条件当前第60页\共有81页\编于星期三\9点

3.常体力下按应力求解的简化对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为非齐次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解是：

非齐次特解+齐次通解。当前第61页\共有81页\编于星期三\9点所以满足平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。当前第62页\共有81页\编于星期三\9点如果，则A，B均可用一个函数表示，即说明：a.导出艾里（Airy）应力函数，是应用偏导数的相容性，即当前第63页\共有81页\编于星期三\9点d.由再去求应力（式（g））,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。c.仍然是未知的。但已将按应力求解转变为按应力函数求解，从3个未知函数减少至1个未知函数。b.导出应力函数的过程，也就证明了的存在性，故可以用各种方法去求解。当前第64页\共有81页\编于星期三\9点（2）应力应满足相容方程（a），将式（g）代入（a），得（3）若全部为应力边界条件（），则应力边界条件也可用表示。当前第65页\共有81页\编于星期三\9点（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；求出后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数求解，应满足:归纳：当前第66页\共有81页\编于星期三\9点例1如图所示的简支梁只承受自重的作用，设材料的密度为，给出函数可以作为应力函数的条件，并求出表达式和应力分量，其中，的形式为：解：将应力函数代入相容方程,得到这就是作为应力函数必须满足的条件此时：

按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前第67页\共有81页\编于星期三\9点当前第68页\共有81页\编于星期三\9点当前第69页\共有81页\编于星期三\9点当前第70页\共有81页\编于星期三\9点例2如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为FS）。不计体力，试求梁的应力分量解：1、用凑幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为的剪应力，为了抵消它，在应力函数上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前第71页\共有81页\编于星期三\9点当前第72页\共有81页\编于星期三\9点当前第73页\共有81页\编于星期三\9点例3图示的墙高度为h,宽度为b,两侧受均布剪力作用，用已知应力函数求解应力分量

解：给出的应力函数显然满足相容方程，于是得到应力分量表达式

下面验证边界条件

按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前第74页\共有81页\编于星期三\9点当前第75页\共有81页\编于星期三\9点按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解例4：三角形悬梁臂只受重力作用，如图所示，使用纯三次式应力函数求解。当前第76页\共有81页\编于星期三\9点当前第77页\共有81页\编于星期三\9点例5试用纯三次式应力函数，求解楔形体受重力和侧向液体压力的应力场。当前第78页\共有81页\编于星期三\9点Yan