及讲解数学三真题89年13392j

设商品的需求函数为Q1005P，其中Q,P分别表示为需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1， 【解析】根据Q(P1005P0,P20,又由Q1005P得Q(P5PQ(P) 100100

级数

(x 的收敛域 【答案】(0,4 若果 ，其中a, 是幂级 ax的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半 1

首先当x20x2时级数收敛.(n

(x2)2 (x2)2(x n(x 1，可知当0 4

2或 n又当x0和x4时得正项级数 np1p1p1时发散n1n所以正项级数 是发散的ny1交换积分次序0 f(x,y)y12 2【答案】0dx0f(x,y)dy f(x,D原式f(xy)dxdyDDyDyDO1yDxy)0y x y2程是x 即yx2的右支,D2D1{(x,y)0x1,0y2D2{(x,y)1x 2,0y 2x2

x2y22的右半圆,D2 2所以0 f(x,y)dx0 f(x,y)dy1 f(x,0Am阶方阵Bn阶方阵,Aa,BbC0

nDai1Ai1ai2Ai2ainAinaijn

其 A(1)ijM O *AB A A1mnAB 所以，本题中有拉斯展开式,CB

0

AB ab将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率 7!种,即基本总数为n7!，而有利于A的样本点数为2!2!,即有利的基本数为4，根据古典概型P(A)2!2! 1 F(xxa

f(t)dt,其中f(x)为连续函数,则limF(x)等于 （B）a2f 【答案】 F(tt)f(x)dx，(t，(tF'(t'(tf(t)'(tf(t)0 01limF(x

xf(t)dta2lim

f xaxa xlima2f

a2f(a) 故应选2:特殊值法xaxa取f(x)2,则limF(x) 2dt2a （B）1cos （D）xtan 【答案】Ax0只有零解rAnrAA的行秩A的列秩,Amn矩阵,rAn,A的列向量线性无关.设当A与B同时发生时,C必发生,则 （A）P(C)P(A)P(B) （B）P(C)P(A)P(B)（C）P(C)P( （D）P(C)P(A【答案】由“当A与B同时发生时 C必发生”得出ABC,故P(AB)P(C)由概率的广义加法P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(AB)推出P(AB)P(A)P(B)P(AB)；又由概率的性质PAB)1，P(CPABPAP(BPABPAP(B因此应选n1设n个 量X,X,,X独立同分布,D(X)n1

i2,Xi

1XS2 n1

X

2,则

n（A）S是的无偏估计量 （B）S是的最大似然估计量（C）S是的相合估计量(即一致估计量)（D）SX【答案】 (ES)22DSES2ES)20.故不能选对于正态总体,S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差S2是2的一致估计量,其连续函数S 一定也是的一致估计量.

xf(x

1

续

x4 f(xxx0limf(x0

f(x0方法1:利用法则求极限limf(x),因为

0

sin(x limf(x)lim xlimcos(x1)2limtan(x x11

x1cos x1 12limcos2(x 4x1(sinx) f(11,故limf(x1,f(xx1处不连续f(14,f(xx1处连续 求极限limf(x,x1t,

x2；ln(1 x2limf(x)limlncos(x1)limlncos x 0

0 x11cost

21t2

14

1 lim lim t01 t0 I

exarccotexx1ln(1e2x2

其中C为任意常数假定uu(x与vv(xuv'dxuvu或 udvuv

Iarccote

arccot

1e2x arccote(11e2xexarccotexx1ln(1e2x)2其中C为任意常数 2

,其中(uv有二阶偏导数y【答案】cos(xyxysin(xy

xxx12 由复合函数求偏导的链式法则：如果函数u(xyv(xy都在点(xyxyzf(uv在对应点(uvzf((xy),(xy在点(xyzzuzv

f'uf'v u v 1 2zzuzvf'uf'v u v 1 2zycos(xy)1 yzcos(xy)xysin(xy)()1()1y 1 y

cos(xy)xysin(xy)x1 x112(y) y22(y) cos(xy)xysin(xy)xx1 f(x连续函数,f(x2xf(t)dtx20f(x1e2xx1 x求导,f(x2f(x2x yP(x)yQ(x)

其中C为任意常数 P(x2,Q(x)2x 2f(x)eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)e2x(2xe2xdxC)Ce2xx12其中C为任意常数1由原方程易见f(0)0,代入求得参数C 2f(x1e2xx1 求证:x1时arctanx1arccos 1

4【解析】1：f(xarctanx1arccos 1

,4如果ug(xxyyfg(x)x

f(x在点ug(xdyf'(u)g

dy du f(x) 0(x1)1 2(x21)(1x2f(xf(10,arctanx1arccos 1 2：f(xarctanx

2

1

,则f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由日中值定理知4f(x)f(1)f'()(x如果ug(xxyf(x在点ug(xyfg(x)xdyf'(u)g

dy du f(x) 0(x1)1 2(x21)(1x2f(xf(1).f(1)0x1arctanx1arccos 1

4yex(x01满足V(a)2limV(a1 ln22Vbf2(x)dxa22V()y2dxe2xdx(1e2),V(a)(1e2a22 limV()

(1e2) 由题设知(1e2a) 得a1ln 过曲线上已知点(x0y0yy0k(xx0，ky'(x0………y'(x0存在时.设切点为(aea,yeaea(xax0,yea(1a,y0,x1aS1(1a)2ea2因S1a)ea1(1a)2ea1(1a2ea 令S0,a11,a21(舍去) S122e12e12 A

,B

xy的值 1 【答案】y2，x0；P 0 P1AP，则A的特征向量.PA的特征向量 B,故其特征多项式相同,即EAEB即(2)[2x1)x21)(2)(y由于是的多项式，由的任意性，令0,2(x2)y令1,得22)2(1yy2x0 0 由(1)知 1 的特征值.A的特征值是11,223当1时,由(EA)x0

0 2

2 3 0 得到属于特征值1的特征向量10,2,1)T当2时,由(2EA)x0

0 2

1 0 0 1 3 1 0 0得到属于特征值2的特征向量20,1,1)T当2时,由(2EA)x0

0 2

0 3 0 P,,

1

.

APB x2x2x0,2xx 3xxx 求的值B0【答案】BA1(AB)A100，这与B rAr(Bn.要有这两种思考问题的意识 A

0 A 5(1)0 解出1AB0,B0,B可逆,AABB10B100

0 方法1：定义法. 0 0 0那么CT C,即C是对称矩阵 B BT BmnZTXT,YT,XTxx,x),YTyy,y Z0,X,Y0,X0,A是正定矩阵,XTAX0B是正定矩阵,故对任意的n维向量Y,恒有YTAY0 T 0X 于是ZCZ(X,Y) XAXYAY A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质，故ATABTB, 0 0 0那么CT C,即C是对称矩阵 B BT B,i0,j (i12,mj12,n.0ECEm0

En

BEmAEn1m1m于是，矩阵C的特征值 因为C0，所以矩阵C正定十二、假设测量的随机误差X 率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).12 56e 【答案】 N(0,102)，即EX0,DX210219.6}P{X根据正态分布的性质则有：pP(A)P{

|X |X0 19.6 } 1P{1.96

n设Y为100次独立重复测量中A出现的次数,则Y服从参数为n100,p0.05的二项分布.根据二项分布的定PYkCkpk(1p)nk(k0,1,2，则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率为：nP{Y3}1P{Y3}1P{Y0}P{Y1}P{Y1C00.050(10.05)100C10.051(10.05)1001C20.052(1 2n100,p0.1），则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布，具体应用模式为若 B(n,p)，则当n充k 大，p相当小时当Y近似服从参数为np的泊松分布,即PYkCnp(1 (k0,1,k设设Y为100次独立重复测量中A出现的次数,则Y服从参数为n100,p的二项分布.故P{Y3}1P{Y31P{Y0}P{Y1}P{Y1()0e()1e()2e1ee2 1e(15 )0.872和X0123pEX0.6，DX X

01pX01pX01p所以P{X0}P{X1X2X30}P{X10,X20X3P{X10}P{X20}P{X30}0.90.80.7P{X3}P{X1X2X33}P{X11,X21,X3P{X1}P{X1X2X31}P{X11,X20,X30}P{X10,X21,X3P{X10,X20,X3P{X11}P{X20}P{X30}P{X10}P{X21}P{X3 P{X10}P{X20}P{X30.10.80.70.90.20.70.90.80.3P{X0}P{X1}P{X2}P{X3}1P{X2}1P{X0}P{X1}P{X10.5040.3980.006X0123pp1P{X11}0.1,p2P{X21}0.2,p3