弹性力学讲义例题

弹性力学讲义例题第一页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二页，共四十页，编辑于2023年，星期六解:首先考察给定的应力函数Φ是否满足相容方程。代入后满足，说明该函数可作应力函数。当体力不计时，将Φ代入应力分量公式可得：第三页，共四十页，编辑于2023年，星期六当时，考察左、右两端的分布情况：左端右端应力分布如图所示，当时应用圣维南原理能解决各种偏心拉伸的问题。因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载P的偏心距为e。则：第四页，共四十页，编辑于2023年，星期六例题3-2（习题3-7）设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，图3-2，试用应力函数求解应力分量。图3-2第五页，共四十页，编辑于2023年，星期六解:

本题是较典型的例题,已经给出了应力函数Φ,可按下列步骤求解。1.将Φ代人相容方程,显然是满足的。2.将Φ代入应力关系式,求出应力分量

3.

考察边界条件:主要边界y=±h/2上,应精确满足式(2-15),第六页，共四十页，编辑于2023年，星期六在次要边界x=O上,只给出了面力的主矢量和主矩,应用圣维南原理,用三个积分的边界条件代替。注意x=O是负x面,图3-5中表示了负x面上σx

和τxy

的正方向,由此得

第七页，共四十页，编辑于2023年，星期六最后一个次要边界条件(x=l上),在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下,是必然满足的,故不必再校核。代入应力公式,得

第八页，共四十页，编辑于2023年，星期六例题3-3（习题3-11）挡水墙的密度为ρ1,厚度为b,图3-6,水的密度为ρ2,试求应力分量。

第九页，共四十页，编辑于2023年，星期六解:

用半逆解法求解。

1.假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2

边界上,y=b/2边界上,所以可假设在区域内为2.推求应力函数的形式。由推测Φ的形式,

第十页，共四十页，编辑于2023年，星期六3.由相容方程求应力函数。将Φ代得

代人Φ,即得应力函数的解答,其中巳略去了与应力无关的一次式。

第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六4.由应力函数求应力分量。将φ代人式(2-24),注意体力

，求得应力分量为

第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六5.考察边界条件:在主要边界y=±

b/2上,有第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六已知

试问它们能否作为平面问题的应力函数?解:

作为应力函数,必须首先满足相容方程,

例题3-4将Φ代入,(a)其中A=0,才可成为应力函数;(b)必须满足3(A+E)+C=0,才可成为应力函数。

第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六例题3-5图3-7所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中力F和力矩M=Fb/2的作用，试用应力函数

求解图示问题的应力及位移,设在A点的位移和转角均为零。

图3-7第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期六解:

应用应力函数求解: (1)校核相容方程 ,满足。

(2)求应力分量，在无体力时，得

(3)考察主要边界条件,

均己满足。

考察次要边界条件,在y=0上,

第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六例题3-6矩形截面的简支梁上,作用有三角形分布荷载,图3-8

试用下列应力函数

求解应力分量。图3-8第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期六解:

应用上述应力函数求解:(1)将Φ代人相容方程,第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六例题3-7矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩的作用，