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线性系统时间最优控制的存在性和唯一性王思江08070110242贵州大学理学院信计1.内容介绍:最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道,使之朝着有利于控制主体的方向发展。对于一个给定的受控系统,常常要求找到这样的控制函数,使得在它的作用下,系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态,且使得系统的某种性能尽可能好。通常称这种控制问题为最优控制问题。最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论,包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必要条件等。最优控制理论始于20世纪50年代末,其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。2.问题:控制系统x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),t>t0<x(t)=x (2.1)u(•)GUad其中A«):[t,t]TRnxn,B(・):[t,t]TRnxm.初始状态X是Rn中给定的点.控制区1 01域U是Rm中有界闭集,Uad表示取值于U的可积函数全体.x(t)=(X](t),x2(t),•••,x(t))TGRn表示控制系统的状态变量,u(t)=(七(t),u2(t),…,um(t))tgRm表示控制系统的控制变量.假定以下基本条件成立:A(・)GL^[0,+8;Rnxn],B(•)GL^[0,+8;Rnxm]L<M:[0,+8)t2Rn是关于Hausdorff度量p连续的多值函数.对VtG[0,+8),M(t)是非空紧集对于0<t0<T<+8,pg[L+8),记u[t0,T]={u:[t0,T]TU|u(・)可测},u[t,+8)={u:[t,+8)TU|u(•)可测},up[t0,T]=u[0,T]nLp(t0,T;Rm),up[t,+8)=u[t,+8)nLp(t,+8;Rm),Lp(t,+8;Rm)={u:[t,+8)TRm||u(・)|GLp[t,T],VT>t}.loc0 0 0 0对V(t,x)G[0,+8)XRn以及t>t,能达集沉(t)=^(t;t,x)是凸紧的.00 0 00假设U{M(t)n沉(t)}^0(2.2),t>t0表示从«,x0)到目标M(•)是能控的.
定义J(u(•))=J(u(•);t0,x0)=inf{t>ty(t;t,x,u(•))eM(t)),即J(u(•);t,x)是轨线y(t;t,x,u(•))首次遇到M(•)的时间.0 0 0 0规定inf0=+8.问题(TC):对于V(t°,X0)e[0,+8)xRn,假设条件U{M(t)D沉(t)}卫0成立.寻找控00 t>t0制u*(t)eu[0,+8)使得J(u*(•);t,x)=inf J(u(•);t,x)(2.3).00 u(•)eu[0,+8) 00t*=uoinf+8)J(u(・);t0,*一最优时间.满足(2.3)的控制u*(•)eu[0,+8)称为最优时间控制.2.最优控制的存在性和唯一性的证明:首先,我们叙述以下引理.引理(3.1)设L以及(2.2)成立,则最优时间t*=inf{t>t\M(•)DM(t)。0}.下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理定理(3.2)设L以及(2.2)成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制〃*(•),且最有时间t*满足t*=min{t>〈|M(•)DM(t)丰0}.定理(3.3)设L以及(2.2)成立,x0WM(0),t*是问题(TC)的最优时间,则[dM(t*)]D[合沉(t*)]=M(t*)D沉(t*)。0.设乙以及(2.2设乙以及(2.2)成立,x0冬M(0),则最优时间t*是以下函数在[0,+8)上的最小零点F(t)=inf{max〈人,中(t,0)x—z>+jtmax〈人,①(t,s)B(s)u>ds}.N=1zeM(t) ° 0ueU进一步,如果人=1,进一步,如果人max〈人,中(t*,0)x—z>+jt*max〈人,中(t*,s)B(s)u>ds=0,zeM(t*) 0 0 0ueU°则最优控制〃*(•)满足以下最大值条件忏小虹,s)B(s)u〉=M①(t*,眼s)u*(s)〉6e[0,t*](3.D,满足如下横截条件x*三x(t*,u*(.))满足如下横截条件〈人,z一x*〉>0,VzeM(t*)(3.2).0其中①是方程组x(t)=A(t)x(t)的转移矩阵。记则中(记则中(t)满足利用顿t),式(3.1)改写为甲(t)=①t(t*,t)1Vte[0,t*].0q)(t)=—而(t帅(t)Vte[0,t*]中(t*)=10(3.3).max(q(t),B(t)"〉=〈q(t),B(t)u*(t)〉a.e.te[0,t*](3.4),ueU式(3.2)改写为(q(t*),乙一x*)>0,VzeM(t*)(3.5).定理(3.4)(最大值原理)设L成立,控制u*(t)是问题(TC)的最优控制,t*是问题(TC)的最优时间,则存在(3.3)的非零解q(•),使得最大值条件(3.4)和(3.5)成立.定理(3.5)(Bang-Bang原理)设L以及(2.2)成立,则存在控制u*()eu[0,t*]使得u*()edUa.e. te[0,t*](3.6).当U=[0,1]m时,(3.6)意味着u*()=0or1.a.e. te[0,t*].以下讨论定常线性系统Jx(t)=Ax(t)+Bu(t),t>t,u(t)eU'\x(t)=x 0 (3-7)I0 0这里AeRnxn,BeR*m,U是R
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