2019专题04导数法-高中物理八大解题方法

2019专题04导数法-高中物理八大解题方法江苏省特级教师戴儒京在物理解题顶用导数法，第一要把物理问题化归为数学识题。在剖析物理状态和物理过程的基础上，找到适合的物理规律，即函数，再求函数的导数，进而求解极值问题或其余问题，而后再把数学识题回归到物理问题，明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的散布图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：E2k(Q)cos=2k(Q2)y2y22yy2lll2因为原点的电场强度，往上或往下的无量远处的电场强度也为0，所以，从O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的剖析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。E00方法1.用三角函数法求导数E2k(Q)cos中把代入得。ylE2kQsin2cos2y2tanl2l令，求导数=，欲使，需（舍去）或即，此处，，将其代入得。zsin2cosz'2sincos2sin3sin（2cos2sin2)z'0sin02cos2sin20tan2y2lEmax43kQ29l21/13方法2.用代数法求导数E=，令,对求导数得,令其分子为0，得，代入得。Qy3352k(22)zy(l2y2)2zz'(l2y2)23y2(l2y2)2lyl2y2y2lEmax43kQ29l2图象用Excel作图，获得对于等量同种电荷的电场在此中垂线上的散布的图象，图象的横轴y表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。图2.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的散布此图象也考证了以上所得的结果：图象中令，则当处电场强度最大。l52l25y3.52例2、电源输出功率最大问题的研究例题．以下图，R为电阻箱，为理想电压表．当电阻箱读数为R1=2Ω时，电压表读数为U1=4V；当电阻箱读数为R2=5Ω时，电压表读数为U2=5V．求：电源的电动势E和内阻r。当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少?图3电路图2/13【分析】由闭合电路欧姆定律：EU1U1ErU2U2rR1R2联立上两式并代入数据解得：，E6Vr1（2）解法1.代数法，电功率表达式：将上式变形为：，由上式可知时有最大值PE2RE2Rr1PPmE2(Rr)2P9W(Rr)24r4rR解法2.导数法，电功率表达式：，依据求导公式，得导数：=，当时，导数的分子为零，即此时有极大值，将代入式得最大值E2(u)'222PRu'vuv'P'(R)E(Rr)ER2(Rr)(Rr)2vv2(Rr)4E2(Rr)(rR)RrRr1PPmE29W(Rr)44r本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，能够有两个电阻值。例3.证明：在碰撞中，完整非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量仍是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完整非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一同了，动能损失最大，动能不守恒,但动量仍是都守恒的。为何在完整非弹性碰撞中，动能损失最大呢？好多同学知其然不知其所以3/13然，本文解决知其所以然的问题。弹性形变是指撤去外力后能够恢还原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它拥有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，知足互相作用的内力大于大于外力的条件，所以不论系统能否遇到外力，一般都知足动量守恒。所以弹性碰撞是同时知足动量守恒和动能守恒的碰撞。一般意义上的碰撞，仅知足动量守恒，碰撞过程中物体常常会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，因为一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的状况，系统在碰撞前后的重力势能不变，所以动能损失也对应着机械能的损失，往常状况下是机械能转变为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，差别于大部分的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞，图5碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。由系统的动量守恒定律得m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’①则碰撞中动能损失为②12121212Ek2mv12m2v22m1v1'2m2v2'1由①得m1v1m2v2m1v1'③v2'm24/13③代入②得，求对的导数，得令0，解得，④即当时，有最大值。Ek1mv21mv21mv'2(m1v1m2v2m1v1')2Ekv1'E'(v')2112222112m2k1(m1v1m2v2m1v1')m1m1v1'm2Ek'(v1')v1'm1v1m2v2v1'm1v1m2v2Ekm1m2m1m2将④代入③解得，即，两小球粘合在一同时，也就是完整非弹性碰撞状况下，动能损失最大。将④代入②解得动能损失最大为。v2'm1v1m2v2v1'v2'Ekmaxm1m2(v1v2)2m1m22(m1m2)例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，、两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面恰好接触。向右上方拉动球使其摆线挺直并与竖直方向成450角，而后将其由静止开释。求A球上涨最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？l1mABB解：B球的初始高度为，碰撞前球的速度为.在不考虑摆线质量的情况下，依据题意及机械能守恒定律得：1BBhvh1l(1cos45)①1mvB2mgh1②2图6弹性碰撞时，动量守恒有③mvBmvA'mvB'动能守恒有④1mvB21mvA'21mvB'22225/13解得，，vA'vBvB'0依据，得，为A球上涨的最高高度。依据，得，为A球上摆的最大角度。

mgh21mvA'2h2h12h2l(1cos2)21450完整非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一同时，动量守恒有，解得，mvBvB2mv'v'2依据，得，为A球上涨的最大高度的最小值。mgh31mv'21mgh2h31h1244依据，得，为A球上摆的最大角度的最小值。h3l(1cos3)3220例4.电磁感觉问题如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在圆滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ搁置在导轨上，一直与导轨接触优秀，PQbc组成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左边有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长为L，开始时PQ左边导轨的总电阻为R，右边导轨单位长度的电阻为R0。以ef为界，其左边匀强磁场方向竖直向上，右边匀强磁场水平向左，磁感觉强度大小均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加快直线运动，加快度为a。（1）求回路中感觉电动势及感觉电流随时间变化的表达式；（2）经过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨战胜摩擦力做功为W，求导轨动能的增添量。【答案】6/13（1）感觉电动势BLv导轨做初速为零的匀加快运动，，vats1at22回路中感觉电流随时间变化的表达式2）导轨受外力F，安培力，摩擦力。此中FAFf由牛顿定律FFAFfMa上式中，当，即时外力F取极大值。RR0attRtaR0设在此过程中导轨运动距离，由动能定理s因为摩擦力，所以摩擦力做功Ff(mgFA)EKMasMa(WQ)。mg【评论】本题考察电磁感觉，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。难度：难。在式子的极值的计算中，答案用了变形，而后依据两式之积一准时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。yB2L2atyB2L2aRR0at2RR0att也能够用导数法求极值。设上式的分母为，取导数：，令其等于0，解得极值条件为。代入得，此时，，RR0atx'(t)RR0atR2aRR0yB2L2axt2x2RR0taR0FmaxMamg(1)B2L2a。2RR0例5.沟通电7/13如图（a），在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右边。导线PQ中通有正弦沟通电流i，i的变化如图（b）所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感觉电动势A．在时为零tT4B．在时改变方向tT2C．在时最大，且沿顺时针方向

t

T2D．在时最大，且沿顺时针方向

tT【分析】依据法拉第电磁感觉定律，感觉电动势，即为的导数，有,S不变，与B成正比，所以，E与i的导数成正比，据此能够画出E-t图象以下：EEBSt从图象能够看出：A．在时为零，正确；Tt4B．在时改变方向，错误；tT2C．在时为负最大，且沿顺时针方向，正确；tT2D．在时为正最大，且沿逆时针方向，D错误。tT【答案】20．AC【评论】图象是正弦函数（或余弦函数）图象，说明电动势E随时间非平均变化。函数是函数的导数函数。EtEtt例6.带电粒子在磁场中的运动粒子速度选择器的原理图以下图，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感觉强度为的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为的匀强电场。一束质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不一样的速度从小孔8/130处沿中轴线射入此地区。研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动并从挡板上小孔P射出此地区，其余还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大误差量为,经过理论剖析知道，这些带电粒子的运动能够看作沿中轴线方向以速度为的匀速直线运动和以速率在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，、；均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间互相作用。B0E01212若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O射入时的速度；0增添磁感觉强度后，使带电粒子以（1)中速度射入，要让全部带电粒子均不可以打到水平金属板，两板间距d应知足什么条件？0磁感觉强度为时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大误差量，进而提升速度选择器的速度分辨本事，水平金属板的长度L应知足什么条件？B0例1题图【解答】（1）带电粒子能沿中轴线运动受力均衡，则qv0B0E0qE，解得v0B0设磁感觉强度增为B，对速度为的匀速直线分运动，有v1E0v0qv1BqE0，解得v1B匀速圆周分运动的速率v2v0v1mv22mE011由向心力公式，解得qv2Br(B2)rqB0B当时，半径有最大值B2B0rmmE04qB029/13要让全部带电粒子都不可以打到金属板，应知足，即dmE02rmd2qB02要提升速度选择器的速度分辨率，就要使不可以沿轴线运动的偏离轴线有最大的距离，圆周运动达成半周期的奇数倍，则圆周运动的周期故应知足的条件

T2mqB0L(2n1)mE0(n1，2,3，)qB02【拓展】此后题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解本题。在得出后，即有当时，半径有最大值，这是为何？rmE0(11)B2B0rmmE0qB0BB24qB02【解答】这个是求极值问题，原来是数学识题，在物理题中，物理老师也要解答。这就是高考要求的“用数学方法办理物理问题的能力”。这里要用导数法求极值：令=y11BB0B0BB2B0B2依据求导公式，得，令其分子为0，得式取极值的条件是，将此条件代入则得。uu'vuv'B0B2(BB0)2BB0B0B(B2B0)mE011)()'v2r'B02B4B02B4r(vqB0BB2B2B0mE0rm4qB02例7.振动和波问题10/13图甲为一列简谐横波在t=0．10s时的波形图，P是均衡地点为x=1m处的质点，Q是均衡地点为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（）A．t=0．15s时，质点Q的加快度达到正向最大B．t=0．15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向C．从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴正方向流传了6mD．从t=0．10s到t=0．25s，质点P经过的行程为30cm答案：AB剖析法：题考察振动图像和颠簸图像的综合应用。由图乙可知t=0．15s时，质点Q抵达波谷，其加快度达到正向最大，A选项正确；图甲表示0．10s时的波形图，t=0．10s时由图乙可知质点Q正经过均衡地点向下振动，联合图甲可知这列波向左流传（因为波向左流传，Q才处在“上坡”的地点，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为8m，由图乙可知周期为0．20s，波速v=λ/T=40m/s,从0．10s到0．15s时间段内，波向左平移s=vt=2m。画出此时的波形以下列图（将波向左平移2m）从图能够发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0．10s到t=0．25s，该波沿x轴负方向流传的距离s=vt=6m，C选项方向判断错误；从t=0．10s到t=0．25s，经过的时间为0．15s，等于即0．05s的3倍，质点P做变速运动，经过的行程不可以用来计算（从均衡地点或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实质路11/13程不等于30cm（此处有的同学忍不住问：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择AB。【函数导数法】因为时刻波方程是，波函数基本函数式是（因为本题波向左流传，所以式中负号改为正号）由图甲可知波长为8m，振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0．20s，所以本题波函数能够写为=①A选项：Q点的振动方程是②对②式求导数得速度函数=③对③式求导数得加快度函数1000④将t=0．15s代入④式得1000，是正最大，所以A正确；B选项：P点的振动方程是⑤对⑤式求导数得速度函数=⑥将t=0．15s代入⑥式得=，为负，所以B正确；C选项：t=0．10s时的波函数能够写为=cm==⑦t=0．25s时的波函数能够写为=cm==⑧依据⑦⑧两式，用电子计算机Excel