2022年6月福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学试题（解析版）

第12页/共15页2022年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）第Ⅰ卷（选择题57分）一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分．每小题只有一个选项符合题意）1.设集合，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用交集的定义求解.【详解】因为，所以.故选：A2.下列函数中，在其定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可.【详解】对于A，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误；对于B，由二次函数性质知：在上单调递增，在上单调递减，B错误；对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误；对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确.故选：D.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得选B4.抛掷一枚骰子，则向上的点数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意可知，基本事件总数为6，其中满足条件有3个，故概率故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别将和代入对应解析式即可求得结果.【详解】，.故选：C.6.一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】根据中位数定义确定数据中的中位数即可.【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值.故选：C7.已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解即可.【详解】圆柱的侧面积.故选：B.8.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的坐标定义求出即得解.【详解】由题得，，.故选：A9.若，则一定有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作差法比较各式的大小，注意成立的条件，即可得答案.【详解】A：，仅当时，即，错；B：，仅当时，即，错；C：，仅当时，即，错；D：，故一定正确，对.故选：D10.的内角，所对的边分别为，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求的值.【详解】由正弦定理知：，则，，所以或，又，故.故选：B11.某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（）A.至少有一次命中目标 B.至多有一次命中目标C.恰好两次都命中目标 D.恰好有一次命中目标【答案】A【解析】【分析】根据对立事件定义直接判断即可.【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”.故选：A.12.如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（）A. B.C.平面 D.平面【答案】D【解析】【分析】是中点，利用中位线性质平移相关线段，将、转化为、，根据四面体侧面形状不定判断A、B；利用线面平行的判定及平面的基本性质判断C、D.【详解】由题设，若，即，由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错；若是中点，连接，则，若，即，同上，各侧面形状不定，不一定成立，故B错；若是中点，连接，则，而面，面，所以面，显然面与面不是同一平面，且面面，所以平面不成立，C错；由题意，面，面，所以平面，D对.故选：D13.为了得到函数的图像，只需把曲线上所有的点（）A.向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B.向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C.向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的D.向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的【答案】A【解析】【分析】根据解析式确定图象平移过程即可.【详解】将向左平移个单位得，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得.故选：A14.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性直接判断即可.【详解】，.故选：D.15.某池塘里浮萍的面积（单位：）为时间（单位：月）的指数函数，即，且有关数据如图所示．若经过年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是（）A.浮萍面积的月增长率均为B.浮萍面积的月增加量都相等C.第个月，浮萍面积为D.第个月，浮萍面积占池塘面积的一半【答案】D【解析】【分析】根据图象所过点可求得函数解析式，通过反例可说明AB错误；代入可知C错误；对比池塘面积和第个月的浮萍面积可知D正确.详解】过点，，则；对于A，第个月的月增长率为，A错误；对于B，浮萍面积第个月的增加量为；第个月的增加量为，B错误；对于C，当时，，即浮萍面积为，C错误；对于D，池塘总面积为，第个月浮萍面积为，第个月，浮萍面积占池塘面积的一半，D正确.故选：D.二、多项选择题（每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得0分）16.下列函数中，最小值为的函数为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式和对勾函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为，A正确；对于B，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为，B正确；对于C，，，的最小值为，C正确；对于D，当时，，令，在上单调递减，当时，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为，D错误.故选：ABC.17.函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（）A.函数的解析式是B.函数的最大值是C.函数的最小正周期是D.函数的一个对称中心是【答案】BCD【解析】【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构造方程求得，知A错误.【详解】对于B，由图象可知：，B正确；对于C，由图象可知：最小正周期，C正确；对于A，由BC得：，，即；或当时，，，解得：，；当时，，，解得：，；或，A错误；对于D，当时，，的一个对称中心为，D正确.故选：BCD.18.下列各组向量中，可以用来表示向量的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基底的性质判断各向量组是否能表示出向量即可.【详解】A：为零向量，基底不能含零向量，故不能表示，错；B：，故可以表示，对；C：，故可以表示，对；D：，基底不能共线，故不能表示，错；故选：BC19.某校为调查学生身高情况，按男女生比例进行分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本．已知中男生数据为23个，平均数为，方差为12.59；女生数据为27，平均数为，方差为38.62．下列说法正确的是（）A.该校男生的身高都比女生高B.该校女生身高分布比男生集中C.样本的平均数为D.样本的方差为51.4862【答案】CD【解析】【分析】根据样本平均数、方差的意义判断A、B；利用平均数、方差公式求样本均值、方差判断C、D.【详解】A：样本平均数男生大于女生，但不能说明该校男生的身高都比女生高，错；B：样本方差男生小于女生，样本可估计该校女生身高分布比男生分散，错；C：样本的平均数为，对；D：男生方差，女生方差，而样本的方差为，所以，对.故选：CD第Ⅱ卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题（每小题4分，共16分）20.计算___________（为虚数单位）【答案】【解析】【分析】根据虚数单位的幂指数运算可直接得到结果.【详解】.故答案：.21.，则向量的夹角为___________【答案】##【解析】【分析】利用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值，进而确定夹角大小.【详解】由题设，而，所以.故答案为：22.某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人【答案】【解析】【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.故答案为：23.如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________．【答案】1【解析】【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值.【详解】设花卉带的宽度为米，则，即，所以，故，所以花卉带的宽度至少应为1米.故答案为：1四、解答题（本大题共3小题，共27分．要求写出必要的证明过程或演算步骤）24.已知为第二象限角，且．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平方关系求余弦值，商数关系求正切值；（2）根据诱导公式、二倍角正弦公式求值即可【小问1详解】由题设，则.【小问2详解】.25.如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．（1）求三棱锥的体积；（2）若，且为锐角，求证：平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.【小问1详解】面面，，面面，面，所以面，又的面积为6，所以三棱锥的体积.【小问2详解】由题设，即，又为锐角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.26.已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）若，判断在的单调性，并用定义法证明；（3）若，，判断函数的零点个数，并说明理由．【答案】（1）奇函数