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PAGEPAGE4定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设，，若，则。特别地，当时，即P为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1：已知A（），B（）及直线：，直线AB与相交于P点，求P点分的比。解：设，则由，得，又∵P点在直线上，∴，∴。例2：如图所示，在中，D为边BC上的点，且，E为AD上的一点，且，延长BE交AC于F，求F分有向线段所成的比。解：∵，∴，又，∴，而，∴，∵B、E、F共线，∴设，而∴∴，解得。二、求直线上点的坐标例3：已知点，，点C为直线AB上一点，且，求C点的坐标。分析：先求出C点分的的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：∵，∴，利用定比分点的坐标公式有。∴C点的坐标为。例4：已知，，且，，求点C，D的坐标。分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的坐标。解：设，，∵，∴，∴根据定比分点的向量公式有，∴同理由得，∴根据定比分点的向量公式有，∴∴，且。∴，即。例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分析：以O为原点，为轴正向建立直角坐标系，设，，用，表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点O为原点，直角边OA、OB所在直线为轴，轴建立直角坐标系，如图设点，点，则D分的比为，∴由定比分点的向量公式得∴点D坐标为同理点E坐标为，由两点间距离公式，得，，，∴，而，∴。例10：如图，已知，求证：的三条中线AD、BE、CF相交于一点G，且。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，可以在平面内任取一点O为向量的始点，将、、设出。证明：如图，在平面内任取一点O，设，，，又设为AD上一点，且，则∵D

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