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PAGEPAGE4定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307)吴汝龙定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设,,若,则。特别地,当时,即P为线段的中点,则有。用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值:例1:已知A(),B()及直线:,直线AB与相交于P点,求P点分的比。解:设,则由,得,又∵P点在直线上,∴,∴。例2:如图所示,在中,D为边BC上的点,且,E为AD上的一点,且,延长BE交AC于F,求F分有向线段所成的比。解:∵,∴,又,∴,而,∴,∵B、E、F共线,∴设,而∴∴,解得。二、求直线上点的坐标例3:已知点,,点C为直线AB上一点,且,求C点的坐标。分析:先求出C点分的的值,再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解:∵,∴,利用定比分点的坐标公式有。∴C点的坐标为。例4:已知,,且,,求点C,D的坐标。分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点C,D的坐标。解:设,,∵,∴,∴根据定比分点的向量公式有,∴同理由得,∴根据定比分点的向量公式有,∴∴,且。∴,即。例9:设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分析:以O为原点,为轴正向建立直角坐标系,设,,用,表示相关线段的长度,从而证明命题。证明:以直角顶点O为原点,直角边OA、OB所在直线为轴,轴建立直角坐标系,如图设点,点,则D分的比为,∴由定比分点的向量公式得∴点D坐标为同理点E坐标为,由两点间距离公式,得,,,∴,而,∴。例10:如图,已知,求证:的三条中线AD、BE、CF相交于一点G,且。分析:几何问题应用向量来解决,关键是将有关线段设为向量,可以在平面内任取一点O为向量的始点,将、、设出。证明:如图,在平面内任取一点O,设,,,又设为AD上一点,且,则∵D

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