2021年高考数学专题13-概率(原卷版)-

专题13概率易错点1忽略概率加法公式的应用前提致错某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：日收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)(元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.1．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.【答案】（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．（2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，由互斥事件的概率加法公式，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，∴1﹣0.1＝0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．易错点2混淆“等可能”与“非等可能”从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为12【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为38利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】可能出现的选择有种，满足条件要求的种数为种，则，故选B.【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）.错点3几何概型中测度的选取不正确在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB=2AC．由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．所以.（2）在∠ACB的内部作射线，则所求概率为.【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB=2AC．由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．所以.（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又，，所以.对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3．如图，在直角梯形中，，是的中点，若在直角梯形中投掷一点，则以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，，故为三角形的最长边长，以，，2为三边构成的三角形为钝角三角形，，即以原点为圆心，半径为的圆，，故选C.(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．易错点4错解随机变量的取值概率而致错从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为．（1）求的分布列；（2）求所选女生的人数至多为1的概率．【错解】（1）由题设可得的可能取值为0，1，2，且，，，所以的分布列为012（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为，其概率为．【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量服从参数为，，的超几何分布．【试题解析】（1）由题设可得的可能取值为0，1，2，且，，，所以的分布列为012（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为，其概率为．4．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为．现有件产品，其中件是一等品，件是二等品．（1）随机选取件产品，设至少有一件通过检测为事件，求事件发生的概率；（2）随机选取件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析．【解析】（1）由题可得，所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为．（2）由题可知的所有可能取值为．，，，．则随机变量的分布列为0123易错点5对超几何分布的概念理解不透彻而致错盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的分布列．【错解】由题意可知，服从超几何分布，其中，，，所以在取得正品之前已取出次品数的分布列为，所以已取出次品数的分布列为0123【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品”，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题．【试题解析】由题易得的可能取值为0，1，2，3．，，，，所以已取出次品数的分布列为0123求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．5．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件，则，答：选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.（2）可能的取值为，，，，故.所以的分布列为：X0123所以的数学期望为：.【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出；（2）X可能的取值为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.掌握离散型随机变量的分布列，须注意：（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．（2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．易错点6混淆互斥事件与相互独立事件而致错甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，每人投3次，两人都恰好投中2次的概率是多少？【错解】设“甲恰好投中2次”为事件，“乙恰好投中2次”为事件，则“两人都恰好投中2次”为事件，所以．【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．【试题解析】设“甲恰好投中2次”为事件，“乙恰好投中2次”为事件，且，相互独立，则“两人都恰好投中2次”为事件，所以．1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．6．甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为A． B． C． D．【答案】D【解析】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，则事件甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，由独立事件的概率乘法公式得，，故选D．【名师点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.一、随机事件与概率1.事件关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．基本事件个数的计算方法(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图列举.3.求互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便.二、古典概型1.求古典概型的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法．3．求与古典概型有关的交汇问题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.三、几何概型1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．2．求解与体积有关的几何概型的方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．3．求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．四、离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略(1)与排列组合有关分布列的求法．可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列．(2)与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．(3)与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．(4)与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．(5)超几何分布的特点超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．五、n次独立重复试验与二项分布1.条件概率的两种解法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A).，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．3．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．4．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．5．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.1．（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时，A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大2．（2018年全国卷II理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A． B．C． D．3．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.754．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告,四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为A． B． C． D．5．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A． B． C． D．6．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则A． B．C． D．7．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.408．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是A．12 B．1C．16 D．9．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于l的概率为A． B．C． D．10．某学生用随机模拟的方法推算圆周率的近似值，在边长为的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率的近似值为A． B． C． D．11．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=A．37 B．4C．35 D．12．设函数f(x)=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是A． B．1﹣ C． D．13．（2018新课标I卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p314．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．15．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是_____．16．已知向量若，则向量的概率为_______.17．（1）一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为____________；（2）有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为____________．18．设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是__________．19．设随机变量X的分布列为X123P11a则a=

；E(X)=

．20．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．21．（2019年高考天津卷理数）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．22．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．23．据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展．下面是50天内甲、乙两家快递公司的“快递员”的每天送货单数统计表：送货单数30405060天数甲10102010乙515255已知这两家快递公司的“快递员”的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．（1）分别求甲、乙快递公司的“快递员”的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列