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文档简介

-1-2.3数学归纳法(1)-1-二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立．-1-所以n=k+1时结论也成立那么求证-1-注意

1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明-1-证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．

②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

当n=k+1时：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立．

由①和②可知，对n∈N，原等式都成立．例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？-1-例:用数学归纳法证明注意

1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明-1-例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…

•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立．②假设当n=k((k∈N）时有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),

当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•

=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•

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