基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计

基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计摘要：Julia集是分形理论中具有重要地位的集合，主要阐述通过非解析映射的Mandelbrot集参数C与相应的充满Julia集图形结构的对应关系进行Julia集分形图的生成方法，解决了构造Julia集时参数选择的盲目性问题。关键词：分形；Mandelbrot集；Julia集0引言分形理论是20世纪末人类在自然科学领域中取得的重大突破，美国数学家Mandelbrot在1975年创立了分形几何，并且科学家们将计算机技术有效地应用于了这一领域，从而为研究和描述这些复杂曲线和图案提供了强有力的工具，并迅速地渗透到计算机科学等相关领域。在分形几何中，许多重要的分形是由迭代产生的，简单的迭代能够产生出精致复杂而又色彩斑斓的分型图案， Mandelbrot集和Julia集就是其中常见的两种，并被广泛地应用于纺织印染、广告设计、服装设计、装潢设计以及计算机美术教学等领域。1构造Mandelbrot集通常Mandelbrot集(简称M集)指的是二次映射f(z)=z2+c的Mandelbrot集，是使临界点(使f(z)=0的点z,称为f(z)临界点)具有有界轨道的参数C的集合。临界点z=0在二次复迭代f(z)=z2+c的Mandelbrot集的研究中，起了关健性的作用。若将指数推广到高次，即复映射f(z)=zm+c，在平面内不是解析函数，可写成如下迭代形式：zn+1=zmn+c其中，zn为第n次迭代后的复数x+yi,C为复数：c=c1+ic2令zn+1=xn+1+iyn+1,zn=xn+iyn,c=c1+ic2。因此，当选定参数c时，动力系统的迭代计算公式为xn+仁enln|zn|cos(n0zn)+(c1xn-c2yn)yn+仁enln|zn|sin(n0zn)+(c2xn+c1yn)该迭代公式在参数C平面，一些点的轨迹无论怎样迭代也不会超出一定的范围， 而另一些点的轨迹经过较少或较多次的迭代到了无穷附近。如果在计算机屏幕上将迭代区域内各种不同点用不同颜色表示出来就得到一个分形图像， 这就是逃逸时间算法的基本思想。我们对不同的逃逸时间着上不同的颜色，形成不同层次的逃逸区，为更深入地研究 Mandelbrot集分形图的混沌轨道提供了可能。2Mandelbrot集与Julia集分形图2.1Mandelbrot集和Julia集的关系Julia集定义如下：设f:-是阶数大于1的多项式，Ff表C中那些轨道不趋于无穷点的点的集合，即：Ff={z€C:{|fn(z)|}}xn=1是有界的}，称此集为对应于f的充满的Julia集，Ff的边界称为多项式f的Julia集，记为Jf,即：Jf=Ff。即，对于将复映射f(z)=zm+c，此时C为常数：c=c1+ic2，在动力平面上的一点z0进行迭代，经足够多次迭代后函数值不发散，z0的前向轨道z1,z2,…,zn点组成的集合为Julia集，不同的复数c对应着不同的Julia集。复解析映射f(z)二zm+c的M集图像具有m-1旋转对称特性，与具有旋转对称性质的参数相应的动力系统之间的动力学特性保持旋转对称特性，因此，在M集的一个对称参数区间上挑选参数就可以构造出与该映射相应的所有不同动力系统的充满 Julia集图案。这些充满Julia集图案的图形结构与参数取自M集的确切位置有关，而M集上的所有参数都有序地排列在各种貌似自相似的芽苞序列中。3.2相同M集不同芽胞上位置，决定了图案的复杂程度及其周期性以M=2为例进行说明，当我们取中心区域中的任意一点为C值时，会出现连通的一周期图案，但越靠近中心区域，图案越趋近于圆形；当选取次大芽胞中一点时，呈现出2周期特性当我们取相同M集不同位置的作为c值时，会出现图案不同的复杂度，越远离中心区域，图形越复杂，图1为当c值取图1中3个位置时，呈现的不同复杂度的图案。图1二次M J集的对应关系2.3M集对称位置参数对Julia集的影响由图1(a)我们可以看出，二阶M集是二旋转对称的，对称轴是图形中部的一条直线，以该轴为对称轴的 M集上参数C的值是一对共轭复数，当用此共轭复数作为 Julia集的参数C时，相应的为Julia集的分形图关于实轴对称。图2给出M集对称位置参数C对Julia集的影响。图2对称参数的二阶M集对J集的影响3结束语Mandelbrot集和Julia集是两类典型的分形，绘制这两类分形图形常用的方法是逃逸时间算法，差别在于前者是基于参数平面的， 而后者是基于动力平面的，所以 mandelbrot集是使Julia集为连通的参数的集合，那么在M集的平面上获取c参数，并且根据该参数位于M集的图案中芽胞的位置来确定其周期性和旋转特性，无疑是进行Julia集分形图绘制的较快的一种方式。参考文献：邓珠子，任波，秦宣云•广义Julia分形图对迭代参数依赖性的研究[J].苏州科技学院学报(自然科学版)，2009(1).曾文曲，王向阳•分形理论与分形的计算机模拟[M].沈阳:东北大学出版社，2001(7).ChenNing，ZhuWeiyong.BudsequeneeconjectureonMfractalimageandMJconjecturebetweenCandZplan