第五章-一维定态问题

§5-5一维定态问在势场V(r)中运动的粒子的薛定谔方程：. 3 力2 C房危&,t)=[-寸V2+V&)帅(r,t)，3t 2m对应定态薛定谔方程：方2[-二V2+V(r)]w(r)=印(r)，2m(三维)力2d2[-:__T+V3)帅⑴=理3)，2mdx2(一维)用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较>0>0 （沿X方向）（a,c）jy>束缚其中简单的问题中体现出来。一势能曲线势能是保守力场中只与位置相关的函数。势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。保守力=势能的负值d5=-/dX区间 志Ep F（0,a）<0势阱（a:不受力的平衡位置）：粒子将被0 <0 （反x方向）$/） >0 <0 （反X方向）势垒（c：不稳定平衡位置）：粒子易于 一）*（c,d） <0 >0 （沿，方向）

离开平衡位置E0=离开平衡位置E0=Ek+Ea粒越该，量恒- 在，：并若子过势能守要E=E+EanEk<0 °所以，垒bd。研究一个量子体系(如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等)，几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律二无限深方势阱离散谱(1)无限深方势阱

粒子处在无限深方势阱中0,8.(0<x粒子处在无限深方势阱中0,8.(0<x<a)3W0或xNa)(5.65)•势阱外势阱壁无限高在势阱壁上及势阱外波函数为零（粒子不可能穿透无限高的势阱壁）w(x)=0. (xW0或xNa)•势阱内当0<x<a时，一维定态薛定谔方程可化为生W+四=0.dx2 力2(5.66)令 \2mEk=，

方(5.67)则方程(5.66)的解可表示为W(x)=Asin(kx+5),(5.68)其中A,k和5是待定常量：A由归一化条件确定，k和5由边条件确定。•束缚态边条件根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续性的要求，势阱内粒子的波函数，必须满足如下的边界条件：W(0)=0,w(a)=0-(5.69)i.e.边条件：W(0)=Asin(kx+5) =Asin(5)=0,5=0；W(a)=Asin(kx+5) =Asin(ka)=0,ka=n丸， (n=1,2,3,…)(5.70)我们舍去了n=0的情况，因为若n=0，必有W三0，没有物理意义。•能量量子化和零点能由式(5.67)k=、2，可得利E=力2k2,(因为k=n兀/a)— 2m方2兀2n2. (n=1,2,3,..•)2ma2(5.71)能量本征值或能级能量量子数◊当粒子被束缚在势阱中时，体系的能量是量子化的，即所构成的能谱是离散的◊粒子的最低能级 基态的能量E1A0，即粒子具有零点能。经典物理中粒子的基态能量可为零。•能量本征函数及其归一化J与能量本征值可相应的波函数（式（5。71）说明，只有当能量取离散值En时，相应的波函数％才是满足边条件的、物理上可接受的。）

n兀xv(x)=Asin. (0<x<a)(5.72)利用归一化条件fa0(5.73)A=；3.取A为实数，得Va◊归一化的能量本征函数—sia—sia0.•nnx、

sin(),a(0<x<a)(5.74)能级n=1,能级n=1,2,3,4的波函数vn以及3。概率密度|vn|2见图53。◊能量本征函数的正交性对于不同能级的波函数v和V，由式（5.mn

74）可得+3 a=.m兀心P.n兀心iJ-?m叩ndT=J0；aSin（a）.、；a顽a"usingusing-2sin以sinP=cos（以+Q）-cos（以一。））jWm叩ndT=0. （m丰n）（5.75）波函数W和W互相正交mn引入克罗内克符号引入克罗内克符号5mn5mn5mn0.（5.76）一维无限深方势阱中粒子波函数一一能量本征函数的正交归一性表为

Wm叩n血=8mn(5.77)|^u)l2i n=4AAA/\_X|欧3(Z)|2] 〃=3图5-|欧3(Z)|2] 〃=3上述积分遍及粒子所能到达的空间。•节点（除端点工一°和x-a外，波函数为零的点）量子态n值节点数TOC\o"1-5"\h\z基态 1 0第1激发态 2 1第k激发态 n—1) k才巴体系看成直线上的驻波： 节点越多波长越短A .频率越高能量越高。—►驻波不形成粒子流的，总有j=0.这很自然：在波函数为实数的情况下，由于W*=w，概率流密度j总是为零的。对于一维定态，当粒子处在束缚态时，可以证明能量本征函数具有常数相位，也总有j=0.若粒子处在散射态，例如自由粒子，无上述结论。二线，性谐振子(1)线性谐振子的定态薛定谔方程I>量子力学中的重要物理模型受微小扰动的物理体系：分子和固体晶格等看成是谐振子系统发射电磁波的物质：谐振子的集合量子场论中的场量子化：采用谐振子模型。线性谐振子或一维谐振子体系在一维空间中运动的粒子的势能为V(x)=1Kx2=1m<»2x2，2 2(5.78)其中①是常量(振动角频率)，K谐振子的劲度系数，m谐振子的质量，K.w—， ■\:m(5.79)在量子力学中，将式(5.78)代入式[-:2d2+V(x)W(x)-硼(x) (一维)2mdx2得线性谐振子的定态薛定谔方程为方2d2 1(- +m①2x2)V(x)—Ev(x),项dx2Z(5.80)它是一个变系数二阶常微分方程，可以精确求解。为简洁起见，引进无量纲的参量&和元g—axa—:mw/h，(5.81)

(5.82)则线性谐振子的定态薛定谔方程(5.80)化d2V+(人一&2)W=0.(5.83)(5.(2)波函数甲在&T土8时的渐近行为f 入=2E仿3(与&2=以2%2=m3x2/方相比)可以略去，方程(5.83)可近似表达为d2

d&2(5.84)其解(即方程(5.83)在&t±oo时的渐近解)是W〜e±L/2O严格的谐振子势是一个无限深的势阱，只存在束缚态g—»±00时) —»0・(5.85)因此在上述渐近解中应舍弃W~广2/2解：\|/〜 「2/2&T±8时)* e -(5.86)cP由此，方程 W+Q-&2)w=。的解为W=厂2/2u(S>)(5.87)u(g)=?(3)厄米多项式将解(5.87)代入方程(5.83)，得到u(g)应的厄米微分方程d2 “du一及一u+(人一1)u=0.陌底*(5.88)•一般情况下，厄米微分方程的解是一个无穷级数，它在&T±8时的渐近解是u(&)也2，V不能满足束缚态边条件、•只有u(g)中断为一个多项式，才能保证束缚态边条件的成立，可以证明，级数只包含有限项的条件是.为奇数*—1=2n. (n=0,1,2,)(5.89)这时方程(5.88)有一个多项式解-厄米多项式TOC\o"1-5"\h\z.、 e,一、 dnu(&)=H(&)=(—1)ne&2 e-&2n dqn ,(5.90)前几个：H0(q)=1，H莅)=2&，H2&)=4&2—2，H3(&)=癸3—12g,H4&)=16g4—48g2+12，H5(g)=32g5—160g3+120g.(4)能量本征值和零点能•能量本征值人二2E/力3人-1=2 (n=0,1,2,)合并有1_E=E=(n+)加, (n=0,1,2,…)n2(5.91)说明使u(g)中断为一个多项式的要求，就是对谐振子的能量E有一定的限制 线性谐振子的能量只能取离散值。振动能级是均匀分布的，两相邻能级间的间隔为*3〃'3En+1-En=扁；(5.92)•基态能量(零点能)(5.93)•零点能的实验证明♦光被晶体散射的实验：当温度趋于绝对零度时，散射光的强度趋于某一个不为零的极限值。这说明，即使在绝对零度，原子仍有零点振动。♦正常沸点只有几开的液体4He和液体3He，都具有显著的零点能效应。例如，在常压下，即使温度降低到了绝对零度附近，液体氦也不会变成固体。(5)能量本征函数和宇称对应于不同的谐振子能量E/定态薛定谔方程方2d2 1(- +m①2x2)w(x)=Ew(x)2mdx22有不同的解W(x).n•正交归一的定态波函数为Wn(x)=Anef2x2/2Hn(ax),(5.93)其中a=：「二， a=,塑.n¥2nn!摆 "[:力• 定态波函数和概率密度分布(图5-4和图5-5)♦定态波函数具有确定的宇称当n为偶数时，甲n(-x)=wn(x)，谐振子处在偶宇称态;

~0.6图5-4线性谐振子的波函数~0.6图5-4线性谐振子的波函数当n为奇数时，寸n（-w=-wn（%），谐振子处在奇宇称态。这是由于势能函数V（x）在空间反演下的不变性V（-%）=V（%）-♦经典力学概率密度分布线性谐振子在%=0处速度最大，所以粒子在该处停留的时间最

图5-6n=图5-6n=11时的概率密度分布♦量子力学位置概率密度当n较小时，线性谐振子的位置概率密度分布与上述经典结果完全不同；随着量子数n的增大，相似性才逐渐增加。如图5-6所示，当n=11时量子和经典的结果在平均上已比较符合。但量子谐振子的|w(x)|2是迅速振荡的。♦量子效应即使在大量子数情况下，线性谐振子的位置概率密度分布，在经典禁区中(即两端竖直虚线以外)的概率密度仍不为零。

• 双原子分子的转动和振动这是包含两个原子的系统：有两个原子核，每一个原子核都被一群电子所围绕着。两个核的质心相距r,与平衡距离r0始终十分接近。在经典力学中始终无法理解这种平衡距离的存在：因为一个和核的电子群受该核吸引，又受另一核的电子群的排斥，却能保持稳定，无法理解。量子力学可处理这个