锐角三角函数（培优篇）-人教版九年级数学下册基础知识专项讲练

文档来源网络整理侵权删除专题28.4锐角三角函数（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（

）A． B． C． D．2．如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（

）A．3 B．3 C．5 D．23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（

）A． B． C． D．4．如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（

）．A．6 B． C．9 D．7．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE、AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC的值为（

）

A． B．1 C． D．8．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（

）A． B．C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．10．在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．如图，在矩形中，点在边上，于点，若，则的值为________．12．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，垂足为，若，，则的长为______．13．如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．14．如图，在菱形纸片ABCD中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为__________．15．已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像上运动，则这个函数解析式为__________________．16．如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．17．如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点是边上一动点．将沿翻折得到，交于点，且点在下方，连接．当是直角三角形时，的周长为_______________________．18．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），，将绕点A逆时针旋转得到，再将沿直线DE折叠得到．下列结论：①连接AM，则；②连接FE，当F、E、M三点共线时，；③连接EF、EC、FC，若是等腰三角形，则；④连接EF，设FC、ED交于点O，若EF平分，则O是FC的中点，且；其中正确结论的序号为__________．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段外一动点，且．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将顺时针旋转至，连接．（1）求证：为等边三角形；（2）当轴，时，求的长；（3）当点B的坐标为时，求线段的最大值（直接写出结果即可）．20．如图，在中，点是边上的动点，点是的中点，，垂足为，，垂足为，连接，.（1）求证：：（Il）若，，连接，求周长的最小值.21．如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F．(1)求证：．(2)如图2，若点G落在BC边上，且，求BE的长．(3)如图3，点P为BG中点，连接AP，，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值．22．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．(1)如图（1）A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形；(2)如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求四边形ABCD的面积；(3)如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值．23．已知抛物线（b，c为常数）的图象与x轴交于，B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．24．已知：如图，在中，，cm，cm，为边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为．解答下列问题：当为何值时，；当中点在上时，求的值；设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值；是否存在某一时刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，，，∵，，∴，∴，在中，，由题意知，，∴，∴，∴，故选：【点拨】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．2．D【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题．解：过点作于点，如题所示，由作图痕迹可知，为的平分线，∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵为的平分线，∴，∴，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，，且，∴，∴在中，，，∴，在中，，故选D．【点拨】本题考查尺规作图，平行四边的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，能够再图中构造合适的辅助线是解决本题的关键．3．B【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解．解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．∵AB=AC，∠A=36°，∴．∵BD平分∠ABC，∴．∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．∴∠BDC=∠C，AD=BD．∴AD=BD=BC=b．∴．∵DE⊥AB，∴．∵∠ACB=∠BCD，∴．∴．∴．∴用a表示b得，（舍）．∴．∴．∴．故选：B．【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键．4．A【分析】过点F作FP⊥AB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，从而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值为，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，从而可求得结果．解：如图，过点F作FP⊥AB于点P由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED∵BE=EF∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜∴∠AED=∠EBF∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB∴∠A=∠FPB=90゜∴△ADE∽△PFB∴∵在中，∴设EF=25a，则PF=24a由勾股定理求得∴BP=BE－PE=18a∴∴∴故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设EF与PF的长，难点是证明△ADE∽△PFB．5．B【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计算即可；解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中点，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四边形ABCD是矩形，，由折叠可知，PD＝PD'，设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，当△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P＝90°时，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②当∠APD'＝90°时，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；故选：B．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．6．A【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，过C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此时三角形ACE的面积==6，故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．7．B【分析】证明△ADE≌△BAF(SAS)可得到∠AOD=90°，证明△ADO≌△DCG(AAS)，得AO=DG，同三角函数得DO=2AO=2DG，可得CG为DO的垂直平分线，可得结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAD=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE+∠DAO=90°，∴∠AOD=90°，∵E、F分别为AB，BC的中点，∴AE=AB，BF=BC，∵AB=BC，∴AE=BF，过C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠CDG=90°，∴∠OAD=∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG(AAS)，∴AO=DG，∵，∴DO=2AO=2DG，∴DG=OG，∴CG为DO的垂直平分线，∴OC=DC=1，故选：B．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，能正确作出辅助线，构建三角形全等是解题的关键．8．D【分析】根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．解：∵菱形ABCD，∴∴D点的坐标为（0，2）设C点坐标为（，0）∵线段DC的中点N∴设N点坐标为（，1）又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N∴，解得即C点坐标为（，0），在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等边三角形又∵于E点，于O点∴，∵，，∴∴又∵在中，∴∴故选：D．【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为角的等腰三角形是等边三角形．特殊角的三角函数，，，．9．D【分析】作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．解：作交OB于点G，∵矩形的对角线．．∴，，即，∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，∴，，∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，又∵，即，解得：．故选：D【点拨】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．10．B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解；②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解；③中先证明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD为正方形，E是BC的中点，∴BC=CD，∴，①正确；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正确；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③错误；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正确．故选B．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．【分析】先证得△ABE≌△FCB，可得设，，则，分别表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，解一元二次方程，根据锐角三角形函数值为正取舍即可求解．．解：在矩形中，∠BAE=90°，AEBC，AD=BC，∴∠CBF=∠AEB，∵，∴∠BFC=∠BAE=90°，∵，∴△ABE≌△FCB，,，设，，则，，，中，，，，，，，，，解得（负值舍去）故答案为：．【点拨】本题考查了求正弦，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，根据题意建立方程是解题的关键．12．【分析】如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB=2x，则AC=2x，根据等角的余弦列式可得CE和AE的长，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根据勾股定理计算可得MN的长．解：如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB=2x，则AC=2x，∵AB的垂直平分线MN交BC边于点N，∴AN=BN=6，BM=x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cos∠B=cos∠C，∴，即，∴∴，由勾股定理得：，，解得：（负值舍去），∴．故答案为：．【点拨】本题考查了线段的垂直平分线性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．13．【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα随BA的减小而增大，∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴当n时，BG最大值故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．14．【分析】连接BE，BD，根据菱形的性质可得△BCD是等边三角形，结合E是CD的中点，可得DE，BE，再根据CD∥AB可得BE⊥AB，利用勾股定理即可求解．解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴DE=CE=1，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=BC×cos∠EBC=2×，∵CD∥AB，BE⊥CD，∴BE⊥AB，由折叠的性质可得AF=EF，在Rt△BEF中，，∴，即，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，余弦等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线．15．（）．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC=AO，∵AO=，∴CO=，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即，解得：，在Rt△COD中，，即，将代入，可得：，故，，则，故可得：（），故答案为（）．16．3【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出即可求出CE的长解：在BC上截取，则，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【点拨】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．17．或【分析】根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合等腰三角形性质，得；结合题意，根据轴对称的性质，得，，，；根据三角形内角和，推导得，结合三角形外角性质，得；分和两种情况分析；根据勾股定理、三角函数的性质分析，即可得到答案．解：在矩形中，沿翻折得到，，，，，分两种情况：①如图，当时，即∵∴∴．的周长为：；②如图，当时，．，，．的周长为：．的周长为或．【点拨】本题考查了矩形、等腰三角形、三角形内角和、三角形外角、勾股定理、三角函数、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解．18．①②③④【分析】①连接AM，延长DE交BF于J．证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．②当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝x，构建方程即可解决问题．③连接EC，CF，只有EF＝CE，设AE＝AF＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．④连接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，连接EN，易证△BFE≌△BNE（SSS），则∠BNE＝∠BFE，证出∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，得出∠OCD＝∠ODC，得出OC＝OD，证出∠OFD＝∠ODF，得出OF＝OD＝OC，即O是FC的中点，设AE＝AF＝n．根据tan∠CFD＝tan∠EDA，构建方程即可解决问题．解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．由旋转的性质得：△BAF≌△DAE，∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，∴∠BJE＝90°，∴DJ⊥BF，由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，∴DE垂直平分线段AM，∴AMBF，故①正确，②如图2中，当F、E、M共线时，∵AE＝AF，∠BAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，∴∠JED＝∠JDE＝∠MJE＝22.5°，∴EJ＝JD，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝x，则有x+x＝4，∴x＝4﹣4，∴AE＝4﹣4，故②正确，③如图3中，连接EC，CF，∵∠CEF＞∠CBF＞90°，△FEC是等腰三角形，∴EF＝CE，设AE＝AF＝m，则有：2m2＝42+（4﹣m）2，∴m＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃），∴AE＝4﹣4，故③正确，④如图4中，连接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，连接EN，则∠DAC＝∠ACD＝∠BDC＝∠BDA＝45°，∠AEN＝45°，∴AN＝AE＝AF，∠BEN＝135°，则BF＝BN，EF＝EN，易证△BFE≌△BNE（SSS），则∠BNE＝∠BFE，∵∠AFE＝45°＝∠DAC，∴EF∥AC，∴∠CFE＝∠ACF，∴∠OCD＝45°+∠ACF，∵∠BEN+∠BDA＝180°，∴D、B、E、N四点共圆，∴∠BNE＝∠BDE，∵EF平分∠BFC，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，∵∠ODC＝45°+∠BDE，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∵∠OCD+∠OFD＝∠ODC+∠ODF，∴∠OFD＝∠ODF，∴OF＝OD＝OC，即O是FC的中点，设AE＝AF＝n．∵∠FDC＝90°，OF＝OC，∴OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF，∴tan∠CFD＝tan∠EDA，∴，∴n＝2﹣2或﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，故④正确．故答案为：①②③④．【点拨】此题考查了旋转变换的性质，翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是学会学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．19．（1）见分析；（2）；（3）5【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的判定解答即可；（2）由勾股定理求得PB=4，再根据正切定义求得，进而可证得，，由勾股定理求解即可；（3）分情况讨论，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，根据旋转的性质可求得AM的最大值，当点P在第四象限时，同理求得AM的最大值即可．解：（1）∵线段绕B点顺时针旋转得到线段，∴，且，∴为等边三角形．（2）∵，，∴PA=2，∵轴，∴∠PAB=90°，AB=，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴．（3）如图，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，则△DPB≌△APM，∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，∴△APD是等边三角形，∴AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，∵B（5，0）,A（2，0），∴AB=3，∴BD≤AD+AB=2+3=5，即AM的最大值为5；当点P在第四象限时，同理可得AM的最大值为5，综上，AM的最大值为5．【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用，利用旋转构造全等三角形，学会转化和分类讨论的思想解决问题．20．（Ⅰ）见分析；（Ⅱ）周长最小值为.【分析】（Ⅰ）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DM＝EM＝AP＝AM，再由等边对等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，最后结合三角形外角的性质即可证明；（Ⅱ）根据∠B＝45°，∠C＝75°以及第（Ⅰ）问的结论可知△MDE为顶角为120度的等腰三角形，过点M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函数值可将△MDE的周长表示为（2＋）×AP，进而将周长最小转换为AP最短的问题，根据垂线段最短即可求解．解：（Ⅰ）∵，，为中点，∴.∴，.∴，.∴.（Ⅱ）过点作于，由（Ⅰ）知，∴，.∵，，∴.由（Ⅰ）知.∴.∴∴.周长.∴当最短时，周长最小.此时.当时，∵，..∴周长最小值为.【点拨】本题考查了直角三角形的性质，垂线段最短，正确的用AP表示出三角形MDE的周长是解题的关键．21．(1)见分析(2)(3)【分析】（1）根据折叠的性质，得到DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，结合DF=DF，证明△ADF≌△GDF即可．（2）证明△ADF∽△EDA，求得DF、AE=EG的长，再利用三角函数，确定DC=AB=BG，再利用勾股定理计算即可．（3）连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，根据中位线定理计算OP=3，根据勾股定理计算BD=，利用直角三角形斜边上的中线性质，计算AO=，根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，计算最大值即可．解：（1）∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，∵DF=DF，∴△ADF≌△GDF，∴AF=FG．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE=90°，∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，∴∠AFD=90°，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴，∴，∴，解得DF=2或DF=-3（舍去），故DE=DF+EF=3,∴AE===EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠B=90°，∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，∴∠EGD=90°，∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，∴∠DGC=∠BEGO，∴sin∠DGC=sin∠BEG，∴，∴，∴DC=AB=BG，∴BE=AB-AE=，∴，解得BG=或BG=0（舍去），∴BE=．（3）如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，则OP是△BDG的中位线，∴OP=．∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，∴BD=，∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，∴AO==，根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的相似，勾股定理，三角函数，线段最短原理，三角形中位线定理，熟练掌握折叠性质，三角形相似，三角函数，勾股定理是解题的关键．22．(1)证明见分析(2)49(3)2+2【分析】（1）根据题意，利用等边三角形的判定定理可得是等边三角形，可得，由，可证四边形AQBC是准平行四边形；（2）连接BD，由准平行四边形的性质可得，，得出BD是直径，利用勾股定理可得，，结合图形，四边形ABCD的面积为与的面积和，求解即可得；（3）根据题意作，然后作的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC延长线于F，利用三角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得，，根据四边形ABCD是准平行四边形，得出，由等边对等角及三线合一性质可得，，利用锐角三角函数可得，，由矩形的判定可得四边形CFOE是矩形，，利用勾股定理得出，结合图形可得：当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，求解即可得．（1）证明：∵，∴，，∵四边形APBC是圆的内接四边形，∴，∴，∵，