第10讲直线的交点坐标与距离公式（原卷版）

第10讲直线的交点坐标与距离公式【知识点梳理】知识点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点三：两点间的距离公式两点间的距离公式为.知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点四：点到直线的距离公式点到直线的距离为.知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.知识点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.知识点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.【题型归纳目录】题型一：判断两直线的位置关系题型二：过两条直线交点的直线系方程题型三：交点问题题型四：对称问题题型五：两点间的距离题型六：点到直线的距离题型七：两平行直线间的距离题型八：三线能围成三角形问题【典型例题】题型一：判断两直线的位置关系1．（2021·全国·高二专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（

）A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解C．存在，使是方程组的一组解D．存在，使之有无穷多解2．（2021·江苏·高二专题练习）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0（多选题）3．（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0（多选题）4．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知集合，集合，且，则（

）A．2 B． C． D．5．（2022·全国·高二课时练习）在下列直线中，与直线相交的直线为()A．

B．

C．

D．6．（2022·全国·高二课时练习）两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点个数一个_______零个直线与的位置关系_______重合_______7．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______8．（2022·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________9．（2021·全国·高二专题练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．10．（2021·全国·高二专题练习）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____.11．（2021·全国·高二课时练习）若方程与所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是________．12．（2021·江苏·高二专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.题型二：过两条直线交点的直线系方程1．（2022·江苏·高二）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（

）A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解3．（2021·全国·高二课时练习）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.4．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．5．（2022·江苏·高二）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.6．（2022·全国·高二课时练习）求证：不论为何实数，直线恒过定点．7．（2021·全国·高一课时练习）已知两直线和.（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.8．（2021·全国·高一课时练习）求经过直线与的交点，且过点的直线方程.9．（2021·全国·高二专题练习）直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．题型三：交点问题1．（2022·江苏·高二）直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（

）A．- B． C．2 D．-22．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．4．（2022·江苏·高二）如图所示，在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为______．5．（2022·江苏·高二）若直线经过直线和的交点，则___________.6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．7．（2022·江苏·高二）设三直线；；交于一点，则k的值为______．8．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.9．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．10．（2022·江苏·高二）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.11．（2022·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.12．（2022·江苏·高二）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．题型四：对称问题1．（2022·江苏·高二）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（2022·广东潮州·二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）．A．5 B． C．45 D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．6．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．7．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）直线关于定点对称的直线方程是_________．8．（2022·江苏·高二）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．9．（2022·江苏·高二）点关于直线对称的点的坐标是______．10．（2022·江苏·高二）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为______．11．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，求：(1)直线l关于点对称的直线的方程；(2)直线关于直线l对称的直线的方程．12．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l:.(1)求点P（3，4)关于直线l对称的点Q；(2)求直线l关于点（2，3)对称的直线方程．13．（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线.(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；(2)求直线关于直线的对称直线方程.14．（2022·江苏·高二）已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．(1)求直线AB的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．①角A的平分线所在直线方程为②BC边上的中线所在的直线方程为______，求直线AC的方程．15．（2022·全国·高二课时练习）（1）已知实数对满足，求的最小值；（2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：，P（3，-1），Q（-3，3），当时，求直线l上的动点M到P，Q两点的距离之和的最小值.题型五：两点间的距离（多选题）1．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（

）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．3．（2022·全国·高二课时练习）已知，且，求a的值．4．（2022·江苏苏州·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线：mx－（2－m）y－4=0与直线h：x+y－2=0的交点M在第一三象限的角平分线上.(1)求实数m的值；(2)若点P在直线l上且，求点P的坐标.5．（2022·全国·高二课时练习）已知与两点间的距离是17，求a的值．6．（2022·江苏·高二课时练习）求函数的最小值．7．（2022·江苏·高二课时练习）求函数的最小值．8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知的三个顶点分别为，，．(1)试判断的形状；(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．9．（2022·全国·高二课时练习）已知，证明是等边三角形．10．（2022·全国·高二课时练习）求到，，三点距离相等的点的坐标．11．（2022·全国·高二课时练习）已知，是直线上的两点，若，且，求直线l的方程．题型六：点到直线的距离1．（2022·江苏·高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（

）A． B．C． D．2．（2022·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(

)A． B．C． D．5．（2022·江苏·高二）点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.6．（2022·江苏·高二）直线，为直线l上动点，则的最小值为___________.7．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为________．8．（2022·全国·高二课时练习）已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.9．（2022·江苏·高二）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：(1)边上的高所在的直线方程；(2)的面积．10．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．11．（2022·江苏·高二课时练习）求过点M(－2,1)且与A(－1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程．12．（2022·广东·佛山市南海区第一中学高二开学考试）已知的顶点坐标为、、．(1)求AB边上的高线所在的直线方程；(2)求的面积．题型七：两平行直线间的距离1．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．2．（2022·江苏·高二）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（

）A．或11 B．或10C．或12 D．或113．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线与直线之间的距离为_________.4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，．若，求与的距离．5．（2022·江苏·高二）已知直线和，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．6．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，且它们之间的距离等于，则直线的方程为___________.7．（2022·上海市宝山中学高二期中）与直线平行且与它的距离为的直线方程是______；8．（2022·江苏·高二）两条平行线与之间的距离是___________.9．（2022·江苏·高二）两平行直线，分别过，.(1)，之间的距离为5，求两直线方程；(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.10．（2022·全国·高二期中）已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．11．（2022·全国·高二课时练习）直线与直线的距离为，求实数的值．12．（2022·全国·高二期中）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．题型八：三线能围成三角形问题1．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（文））已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（

）A．a≠ B．a≠C．a≠且a≠ D．a≠且a≠12．（2022·全国·高二）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个3．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（