2021艺体生高考数学一轮复习-专题09-指数函数对数函数以及幂函数(解析版)

专题09指数函数对数函数以及幂函数一、指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数二、对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数三、常用的指对数变换公式：（1）；（2）；；（3）；（4）换底公式：；进而有两个推论：（令）；；四、方法与技巧1、指对比较大小（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；2、解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.例1、(2019常州期末）函数y＝eq\r(1－lnx)的定义域为________．【答案】(0，e]【解析】由题得1－lnx≥0，lnx≤1，得0<x≤e，故函数的定义域为(0，e]．eq\a\vs4\al(易错警示)①注意定义域是集合；②lnx≤1，从而得x≤e，但要注意x>0.变式1、(2019镇江期末）函数f(x)＝eq\r(lg（3－x）)的定义域为________．【答案】(－∞，2]【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,lg（3－x）≥0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<3，,3－x≥1，))即x≤2，故函数的定义域为(－∞，2]．变式2、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．【答案】(－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为(－∞，2)．例2、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝eq\f(1,2).由logeq\f(1,2)x＝1，得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(1,2).变式、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为．【答案】【解析】设（），因为正方形的边长为2，所以，，则，即，解之得，即所求的实数的值为．例3、2.已知，，，则【答案】【解析】∵，,即；,即，∴y<z<x.变式1、已知定义在上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若则的大小关系是【答案】【解析】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴．∵当时，单调递减，∴，例4、(2018苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a－ex，,x<1，,x＋\f(4,x)，,x≥1)))(e是自然对数的底)．若函数y＝f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为________．【答案】[e＋4，＋∞)【解析】解法1在x≥1时，f(x)min＝f(2)＝4.所以当x<1时，a－ex≥4恒成立．转化为a≥ex＋4对x<1恒成立．因为ex＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e＋4)，所以a≥e＋4.解法2当x<1时，f(x)＝a－ex>a－e，当x≥1时，f(x)＝x＋eq\f(4,x)≥4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，取“＝”，故函数f(x)的值域是[e＋4，＋∞).eq\a\vs4\al(解后反思)解法1中，因为ex＋4在x<1上没有最大值，所以要特别注意边界值e＋4能否取到．变式1、(2017镇江期末）已知函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)与函数y＝eq\f(x＋1,x)的图像共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则(xi＋yi)＝________.【答案】2【解析】思路分析函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)可变形为y＝2－eq\f(2,2x＋1)，则函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)在R上单调递增，也可变形为y＝eq\f(2x－1,2x＋1)＋1，则函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)图像关于点(0,1)对称；函数y＝eq\f(x＋1,x)图像也关于点(0,1)对称，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．如图，函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)与函数y＝eq\f(x＋1,x)的图像都关于点(0,1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0,1)成中心对称，且只有两个交点，所以i＝0，i＝2，则(xi＋yi)＝2.变式2、(2017镇江期末）不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】(0,1)∪(eeq\f(1,4)，＋∞)【解析】：思路分析不等式恒成立问题常用方法是参变量分离，为了实现参变量分离，本题需要把logax化成eq\f(lnx,lna).不等式logax－ln2x＜4可化为eq\f(lnx,lna)－ln2x＜4，即eq\f(1,lna)＜eq\f(4,lnx)＋lnx对任意x∈(1,100)恒成立．因为x∈(1,100)，所以lnx∈(0,2ln10)，eq\f(4,lnx)＋lnx≥4，故eq\f(1,lna)＜4，解得lna＜0或lna＞eq\f(1,4)，即0＜a＜1或a＞eeq\f(1,4).1、(2017南京、盐城二模）函数f(x)＝lneq\f(1,1－x)的定义域为________．【答案】(－∞，1)【解析】由eq\f(1,1－x)＞0，得1－x＞0，即x＜1.易错警示定义域应该写成集合(或区间)形式，区间是某些集合的缩写．2、(2017苏锡常镇调研）函数f(x)＝的定义域为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)【解析】：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3＞0，,ln4x－3≠0，))解得x＞eq\f(3,4)且x≠1，故所求函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．3、(2019南京、盐城一模）已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋1，则f(－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln2)＝－f(ln2)＝－(eln2＋1)＝－(2＋1)＝－3.4、(2017南京学情调研）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2)))【解析】思路分析由于所给出的是一个函数方程，因此，根据函数的奇偶性，可以得到另外一个函数方程，从而可求出f(x)，g(x)的解析式，通过将等式af(x0)＋g(2x0)＝0中的a分离出来，转化为求分离之后的函数的值域问题．因为f(x)＋g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以f(－x)＋g(－x)＝2x.又因为f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝2x，由此解得f(x)＝eq\f(2－x－2x,2)，g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，从而等式af(x0)＋g(2x0)＝0等价于a(2－x0－2x0)＋(22x0＋2－2x0)＝0.因为x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以t＝2x0－2－x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3,2)))，故a＝－eq\f(22x0＋2－2x0,2－x0－2x0)＝eq\f(t2＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3,2)))上单调递增，故t＋eq\f(2,t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2)))，即a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2))).解后反思已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形