2022届高考数学（文）一轮复习函数

第二模块函数

5/28/2023

第四讲函数及其表示5/28/2023回归课本1.函数的概念设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.5/28/20232.构成函数的要素:定义域､对应关系､值域.3.两个函数的相等当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.5/28/20235.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.6.映射的概念设A､B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:A→B”.5/28/2023考点陪练5/28/20231．（2011·湖南）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为_______；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．解析：(1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n＝1处的函数值为任意的a(a为正整数)；(2)因为2≤f(n)≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16.答案：(1)a(a为正整数)

(2)16

5/28/20235/28/2023解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x≠0,C中x∈R,D中x∈R.答案:A5/28/20233.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则在下面4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.①②③④ B.①②③C.②③ D.②解析:由函数的定义易知②③成立,故选C.答案:C5/28/20235/28/2023解析:A中f(x)的定义域是{x|x≥0},g(x)的定义域是{x|x≥0或x≤-1},f(x)与g(x)的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是相等函数.B中f(x)= 的定义域为{x|x∈R,且x≠2},g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是相等函数.C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域､对应关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数.5/28/2023D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数.所以应选C.答案:C5/28/2023评析:根据函数的三要素,从定义域､值域､对应关系等方面对所给的函数进行分析判断.判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是相等函数,因为定义域､值域不能唯一地确定函数的对应关系.此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.5/28/20235.已知集合A={(x,y)|y=f(x),x∈[-1,2]},集合B={(x,y)|x=0},则A∩B的子集的个数是()A.0B.1C.2D.不确定解析:函数f(x)定义在[-1,2]上,所以由函数定义知当x=0时有唯一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故A∩B中有一个元素,有2个子集.故选C.答案:C5/28/20236.已知映射f:A→B,其中集合B={-2,0,4,10},集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的个数最多可能是()A.4B.6C.8D.105/28/2023解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,-2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1,所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8个,故选C.答案:C5/28/2023类型一 函数的基本概念解题准备:(1)函数是指两个非空数集A､B之间的一种对应关系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同,由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可.5/28/2023【典例1】(1)函数y=f(x),x∈D与直线x=2交点个数为________.5/28/2023

[解析](1)当x=2∈D时,根据函数定义A中任何一个自变量在B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2 D时,无交点.(2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数对应关系不同,q也是假命题,所以p∨q是假命题.[反思感悟]两个函数的定义域､值域和对应关系中有一个不同,它们就不表示相等的函数.[答案](1)0个或1个(2)假5/28/2023类型二 求函数的解析式解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)消元法等.5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023类型三 分段函数解题准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系;(2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段解决.5/28/20235/28/2023[分析]先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求 的值.5/28/2023[答案]8[反思感悟]对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内.5/28/2023

[探究]某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行程不超过3千米,一律收8元).若超过3千米,除起步价外,超过部分再按1.5元/千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,下车后乘客付了16元,则乘客乘车里程的范围是________.(单位:千米)5/28/20235/28/2023类型四 抽象函数解题准备:抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题,要全面应用所具有的性质展开解题思路,通常方法是赋值法,并善于根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法.5/28/2023【典例4】已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)求证:(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.5/28/2023

[解](1)对a,b∈R,有f(ab)=f(a)+f(b),令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.令a=b=1,得f(1)=0.5/28/20235/28/2023错源一 换元不等价5/28/2023

[剖析]错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相等,所以错解中f(x)定义域为R是错的,f(x)定义域应为变量t的取值范围.5/28/20235/28/2023[评析]在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决定.错源二解析式化简不等价导致函数定义域变大5/28/2023[剖析]本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简,导致扩大了自变量x的取值范围.5/28/2023[答案]{x|x∈R,x≠-1且x≠-2}技法 求函数解析式的方法一､特殊值法【典例1】已知对一切x,y∈R,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1,求f(x).[解题切入点]由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立,可根据需要对x,y进行赋值,本题可令x=0.5/28/2023[解]因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,y∈R都成立.所以令x=0,得f(-y)=f(0)-(1-y)y,又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1,再令x=-y,得f(x)=x2+x+1.5/28/2023[方法与技巧]当所给函数的等式中有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.5/28/20235/28/20235/28/2023

[方法与技巧]已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的问题,可先用g(x)表示h(x),然后再将g(x)用x代替,即得f(x)的解析式.5/28/2023三､换元法5/28/20235/28/2023[方法与技巧]若已知条件中没有给出函数的具体解析式,但给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法,把解析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范围.5/28/2023四､待定系数法【典例4】已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x).[解]设f(x)=ax2+bx+c,f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.对应得a=1,b=-2,c=1.所以f(x)=x2-2x+1.[方法与技巧]已知函数式的构造模式时可用.5/28/2023五､转化法【典例5】设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时,f(x)=2x-1.求当1<x≤3时,函数f(x)的解