常微分方程第次课

常微分方程第次课1第一页，共四十页，编辑于2023年，星期六§6.1线性微分方程组的一般理论第二页，共四十页，编辑于2023年，星期六一阶线性微分方程组:称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.非齐次线性微分方程组

(1)则式（1）变为(2)称式（1）为第三页，共四十页，编辑于2023年，星期六一齐次线性微分方程组1叠加原理定理1证明:则有所以如果是方程（2）的m个解,则它们的线性组合也是方程(2)的解，这里是任意常数。由于是方程（2）的m个解第四页，共四十页，编辑于2023年，星期六2函数向量组线性相关与线性无关定义设是一组定义在区间[a,b]上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数使得对所有，有恒等式则称在区间[a,b]上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[a,b]上线性无关。第五页，共四十页，编辑于2023年，星期六证明:例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.第六页，共四十页，编辑于2023年，星期六例2证明:函数向量组证明:要使第七页，共四十页，编辑于2023年，星期六则需因为所以故线性无关.第八页，共四十页，编辑于2023年，星期六3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式第九页，共四十页，编辑于2023年，星期六(2)定理2证明:第十页，共四十页，编辑于2023年，星期六(3)定理3证明:“反证法”则现在考虑函数向量由定理1知,如果（2）的解线性无关，则它们的Wronsky行列式第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六(4)定理4一阶微分方程组(2)一定存在n个线性无关的解.证明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件且第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六4通解结构及基本解组定理5证明:①由已知条件,第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六又因为第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六推论1(2)的线性无关解的最大个数等于n。基本解组:一个基本解组。注1:齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。注2:齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个n维线性空间。注3:由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去。第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六推论2第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六5解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的解矩阵。则称该解矩阵为(2)的基解矩阵。基解矩阵——以基本解组为列构成的矩阵。第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六注:这里C是确定的N维向量空间第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期六例3验证是方程组基解矩阵.解:由于又由于第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六证明:第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六证明:于是有由此可得第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六即有例4验证是方程组的基解矩阵,并求其通解。解:第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六又由于其通解为第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六二非齐次线性微分方程组1非齐线性微分方程组解的性质性质1性质2第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六性质32通解结构定理定理6这里C是确定的常数列向量。证明:由性质2知,即这里C是确定的常数列向量。第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期六3常数变易公式则(2)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期六从而反之,可验证(8)是方程组(1)满足初始条件的特解。因此,(7)变为第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期六定理7①

向量函数是(1)的解,且满足初始条件②

方程组(1)的通解为注1:注2:公式(8)或(9)称为(1)的常数变易公式。第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期六例5求方程组的通解.解:由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(8)得方程的特解为第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期六所以,原方程的通解为第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期六例6试求初值问题解:由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期六故方程满足初始条件的解是第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期六(2)n阶线性微分方程的常数变易公式则线性微分方组的初值问题的基本解组为从而其基解矩阵为第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期六第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期六推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为第三十七页，共四十页，编辑于2