【2022高考数学一轮复习】1基本不等式

1第三课时基本不等式第十六章不等式1.基本不等式（1）基本不等式成立的条件是________；（2）等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.2.算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为___________，几何平均数为_____.2a=ba≥0,b≥03.利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，x+y有_____值，是_____.（简记：积定和最小）（2）如果和x+y是定值q，那么当且仅当________时，xy有_____值，是_____.（简记：和定积最大）3最大x=y

最小x=y

41.若x>1，则的最小值是

.

因为x>1,所以

当且仅当（x-1）2=1,即x=2时，等号成立.所以

的最小值是3.32.已知直角三角形的面积等于50，要使两直角边的和最小，斜边的长应等于

.设两直角边长分别为a,b，则a·b=100，所以当且仅当a=b=10时，等号成立.所以斜边的长等于53.若正数a,b满足

则a+b的最小值为_________.

因为

所以当且仅当即

等号成立.64.若a>0,b>0，则的最小值是（）因为a>0,b>0,所以故选C.7C

5.若a＞b＞1，则P、Q、R的大小关系为_________.

因为a＞b＞1，所以lga＞lgb＞0，从而所以R＞Q＞P.8R＞Q＞P1.基本不等式（1）若实数a,b满足a2+b2=6，则ab的最大值为_______.（2）若x>0，y>0且xy=4，则x2+y2的最小值为_____，x+y的最小值为_____.（3）若x>0，则y=x+的最小值为____，此时x的值为______.（4）若xy>0，则的最小值为____.92483（5）下列说法中正确的是_____.A.若x∈R，则x+

≥2B.若x∈R，则x+

≤-2C.若0<x<

，则y=x+

的最小值是2D.若0<x<2，则y=x+

的最小值是210D2.算术平均数、几何平均数（1）若a=lg4,b=lg25，则a、b的算术平均数为____.（2）若a=2,b=8，则a、b的几何平均数为______.1141（3）对于两个正数x、y，下列说法中正确的是______.A.x、y的算术平均数大于它们的几何平均数B.x、y的算术平均数不大于它们的几何平均数C.x、y的算术平均数小于它们的几何平均数D.x、y的算术平均数不小于它们的几何平均数12D13

设x、y均为正数,且求xy的最小值.

因为

所以即xy=x+y+8.因为x,y均为正数，题型1：利用基本不等式的转化求最值

所以

(x=y时,等号成立),即因为

所以xy≥16，即xy的最小值是16（x=y=4时,等号成立）.14【评注】本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一.对于xy与x+y在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的.当然，本题用三角代换也是一种不错的解法：15令所以xy的最小值是16.16已知函数f（x）=loga（x+3）-1（a>0,且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在直线mx+ny+1=0上.若m>0,n>0，求的最小值.

当x=-2时，f（-2）=loga1-1=-1，即A点的坐标为（-2,-1）.因为点A在直线mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即n+2m=1.17当且仅当即时，等号成立.所以的最小值是8.18求的最小值.

方法1：

当即sin2x=1时，

可以取等号,19题型2：注意基本不等式的适用条件即当sin2x=1时，

的最小值是2.又当sin2x=1时，即的最小值是3.所以函数的最小值是5.20方法2：令t=sin2x，则0<t≤1，所以当0<t≤1时，

<0，即

在（0，1］上是减函数，所以当t=1时，

的最小值是5.方法3：令t=sin2x，则0<t≤1.因为函数

在（0,2）上是减函数，所以，当t=1时，ymin=5.21【评注】本题是利用基本不等式求函数的最值问题.用基本不等式

时，要注意“正、定、等”三要素缺一不可.22已知b、c∈R,在区间上，函数f（x）=x2+bx+c与函数在同一点取得相同的最小值，求f（x）在区间上的最大值.23因为当且仅当，即x=1时，等号成立，即g（x）的最小值为3.因为f（x）与g（x）在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的抛物线，且1∈

24所以f（x）只能在顶点处取得最小值，所以即b=-2时，所以c=4.所以f（x）=（x-1）2+3.又x∈

所以，当x=2时，f（x）的最大值为4.25

设函数（1）求f（x）的最大值及此时的x的值；（2）证明:对任意的实数a、b,恒有26题型3：基本不等式与函数（1）当且仅当即时，f（x）的最大值为.27（2）证明：因为所以的最小值为3.由（1）知，f（x）的最大值为.而<3，所以对任意的实数a、b,恒有28【评注】本题是借助于函数解决最值问题.第（1）问是将函数变形后,转化为可以用基本不等式来求最大值；第（2）问如果直接求是非常困难的,但如果观察到右边是一个一元二次函数，最小值不难求得是3，左边的最大值已经求到是

，说明左边的最大值比右边的最小值还小，所以左边自然小于右边，简直太妙了！设想一下，如果没有第（1）问，又将如何？29设函数

证明:对任意的实数a、b,恒有

30所以当且仅当

即

时，f（x）的最大值为

.而所以

的最小值为

.因为所以对任意的实数a、b,恒有31本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或求积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数（或代数式）的大小或证明不等式（放缩法等）；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决.321.利用基本不等式时，要注意“正、定、等”三要素.（1）“正”，即x,y都是正数；（2）“定”，即不等式另一边为定值；（3）“等”，即当且仅当x=y时，等号成立.如:当sinx>0时,虽然有但并不是y的最小值,因为不可能成立.又如：并不一定有因为x的符号没有确定.332.利用基本不等式

时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧.但应注意,一般不要出现两次不等号.例如：已知x>0,y>0，且x+y=1，求

的最小值.

方法1：因为x>0,y>0，且x+y=1，所以当

时，

的最小值为6.34方法2：因为x>0,y>0，所以

的最小值为6.方法3：因为所以所以所以的最小值为.三种方法似乎都有道理，但结果却不一样，哪一种对呢？其实三种都不对.35方法1、方法2都是误用了等号成立的条件;方法3中，

是当且仅当x=y时，等号成立，而

是当且仅当

时，等号成立，x=y与

不可能同时成立，所以错了.本题比较好的解法是：因为x>0,y>0，且x+y=1，36所以所以

的最小值为.373.记住下列结论,对解题是有帮助的：①②③当x>0时，④当x、y同号时，384.当两个正数a、b的和a+b与积a·b出现在同一个式子中时，可以利用基本不等式互相转化来求取值范围.如：已知a>0,b>0，且ab=a+b+3，则①ab∈__________.②a+b∈_________.39就可以这样来求：①因为所以因为+1>0，所以ab≥9，即ab∈［9,+∞）.②因为所以（a+b）2-4（a+b）-12≥0，所以a+b≥6，所以a+b∈［6,+∞）.401.（2009·重庆卷）已知a＞0，b＞0，则

的最小值是（

）A.2

B.2