【人教数学A版选修】《数系的扩充和复数的概念》“衡水赛”一等奖

3.1数系的扩充和复数的概念毕达哥拉斯（约公元前560—480年）

“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．计数的需要正整数零自然数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充中国是世界上最早认识应用负数的国家.早在2000多年前的《九章算术》中,就有正数和负数的记载.在古代人民生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在粮食生产中,以产量增加为正,以产量减少为负.古代的人们为区别正、负数,常用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.小贴士珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.+8844-155SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充自然数集整数负整数自然数正整数零整数集SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充等额分配整数负整数自然数正整数零分数有理数有理数集自然数集整数集11问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数集自然数集整数集？整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数实数集SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数集自然数集整数集【问题1】在自然数集中方程有解吗?【问题2】在整数集中方程有解吗?自然数整数自然数负整数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数整数分数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题3】在整数集中方程有解吗?自然数整数自然数负整数实数有理数无理数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?有理数整数分数自然数整数自然数负整数在实数集中方程有解吗?【问题5】SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?在实数集中方程有解吗?【问题5】没有实数根学生活动现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题，怎么解决？讨论你能给出一个解决问题的方案吗?问题6:

1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．”能作为“数”吗？SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充它表示什么意义？历史回顾

1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”

SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充(R.Descartes,1596--1661)笛卡尔1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数LeonhardEuler（1707-1783）欧拉1801年高斯系统使用了i这个符号使之通行于世（1777—1855）高斯JohannCarlFriedrichGauss?虚数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充?实数集有理数集自然数集整数集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,

通常用字母

z表示.

(3)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C

表示.2．复数的概念实部虚部其中称为虚数单位.(2)SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充NZQRC1．新数i

叫做虚数单位,并规定：

（1）i21；

（2）实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充例题讲解例1.写出下列复数的实部与虚部.解:4的实部为

4,虚部为

0;

2-3i的实部为

2,虚部为

-3;

0的实部为

0,虚部为

0;

的实部为

,虚部为

;

的实部为

5,虚部为

;

6i的实部为

0,虚部为

6。

三、复数的分类复数a+bi如图所示：复数集虚数集实数集纯虚数集数学建构例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.解:实数有

;

虚数有

;

纯虚数有

.4，0例题讲解例2实数m取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当时，复数z是纯虚数．例题讲解（4）0（5）6+2i如何定义两个复数相等？反之,也成立.如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,则SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充想一想例2:已知复数相等的问题转化求方程组的解的问题SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充与转化（复数问题实数化）解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组解得:求实数探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。两个实数可以比较大小实数与虚数不可以比较大小虚数与虚数不可以比较大小1.数系的扩充；2.复数有关概念：复数的代数形式复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数回顾反思SHUXID