【2022届高考数学一轮复习】《对数函数》

-1-第5讲对数函数理解对数的概念及运算性质，了解换底公式；了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象．-1-基础自查

1．对数

(1)对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b叫做

，记作logaN＝b，其中a叫做对数的

，N叫做对数的

．

(2)常用对数通常将log10N叫做常用对数，记作

.

自然对数：通常将以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作

.以a为底N的对数真数底数lg_Nln_N-1-(3)对数的性质①零和负数没有对数；②loga1＝

(a>0，且a≠1)；③logaa＝

(a>0，且a≠1)；④alogaN＝

(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝

；(2)loga＝

；(3)logaMn＝

(n∈R)；(4)logaM＝(c>0，且c≠1)．3．对数函数(1)对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做

，它的定义域是

．01NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM对数函数(0，＋∞)-1-(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质定义域：

,值域：R图象过点：

,在(0，＋∞)上是单调函数在(0，＋∞)上是单调函数(0，＋∞)(1,0)增减联动思考想一想：不同底的对数函数的图象之间的变化趋势是怎样的？答案：(1)由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝1交于点(a,1)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴上方，从左到右，对应的底数由小到大依次递增FF0E(2)由于函数y＝logax的图象与直线y＝－1交于点，所以y＝logax的图象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减．-1-联动体验1．lg8＋3lg5的值为________．解析：lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3lg10＝3.

答案：32．函数f(x)＝lg的定义域为________．解析：∵1－x2>0，即x2<1，∴－1<x<1.

答案：(－1,1)3．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为

________．解析：由题意得M＝[0,1]，N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．答案：[0,1)-1-4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么

等于________．解析：由题意知：log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝8，∴

＝＝.

答案：5．(2010·福建福州)三条对数函数图象如图所示，若ax1＝bx2＝cx3>1，则x1、x2、x3的大小关系是________．解析：由图知：0<b<a<1<c，又ax1＝bx2＝cx3>1，x1<x2<0，x3>0.故x3>x2>x1.

答案：x3>x2>x1-1-考向一对数及对数的运算-1-反思感悟：善于总结，养成习惯

1．常见的几种对数的运算性质．

(1)logab·logba＝1；

(2)logaaN＝N；

(3)logab＝；

(4)＝logab；

(5)

＝N.2．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号在有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)(－4)]＝log2(－3)＋

log2(－4)等错误．-1-迁移发散

1．计算：

(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)；

-1-考向二指数与对数互化【例2】已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值．解：对3a＝c两边同取以c为底的对数，得logc3a＝1，∴logc3＝.同理可得＝logc5.∴由＝2，得logc3＋logc5＝2.∴logc15＝2，∴c2＝15.又∵c>0，∴c＝.反思感悟：善于总结，养成习惯掌握指数式与对数式的互化公式是解决指数与对数互化问题的一个有效途径，其互化公式为logaN＝b⇔ab＝N(a>0，a≠1，

N>0)．-1-答案：1考向三对数函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则

a，b满足的关系是________．①0<a－1<b<1②0<b<a－1<1③0<b－1<a<1④0<a－1<b－1<1

解析：首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增，a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－1<b<1，故0<a－1<b<1.

答案：①-1-反思感悟：善于总结，养成习惯

1．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”．即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

2．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤

(1)确定定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；

(3)分别确定这两个函数的单调区间

-1-迁移发散3．已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，a>0且a≠1，∵a>0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a>0，∴a<，∴a的取值范围为(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝，此时f(x)＝，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．-1-课堂总结感悟提升1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为

logaMn＝nloga|M|(n∈N*且n为偶数)．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝logab，logab＝在解题中的灵活应用．4．在解决问题的思路和方法上，要注意与指数函数进行比较．同一坐标系下的图象关系底的关