计算机控制系统 第2章(第3次课 最少拍)

需求与问题经历最少的采样周期（最短的时间），使输出达到参考值。2.3.2最少拍(dead-beat)控制系统设计

解决的基本思路使E(z)有限项（以z-1多次幂的多项式为有限项），且项数越少越好。D(z)满足物理可实现性闭环系统稳定性2.3.2最少拍控制系统设计

最少拍（有限拍）控制是一种时间最优控制方式。设计目标：设计一个数字控制器D(z)，使系统在典型输入信号r(t)作用下，经过最少的采样周期，消除输出和输入之间的偏差，达到平衡。通常把一个采样周期称为一拍。设计准则：1）单位阶跃输入

2）单位速度输入3）单位加速度输入典型输入信号的Z变换具有如下形式：

控制系统的调节时间就是误差e(kT)达到恒定值或趋于零的时间，根据误差的Z变换定义：最少拍控制系统在典型信号输入时，，

e(kT)等于零或为恒定值时，系统调整结束。因此，设计准则就是求出使k为最小的正整数N。

由于，误差E(z)与误差传递函数和输入信号R(z)有关，因此，最少拍控制的设计是根据不同的R(z)选择，使只有有限项，且项数(N)越少越好。因为如果选能够消去E(z)分母的因子则E(z)为的有限多项式，因此，可选为

式中，F(z)为的有限多项式，当n=m时，且F(z)=1时，可使E(z)的项数最少，因而调节时间最短，得到的数字控制器阶数较少，结构也简单。2.典型输入时最少拍数字调节器D(z)根据上述最少拍控制设计准则可知，对于不同的输入信号，应当选择不同的误差传递函数，求得最少拍数字控制器D(z)。

1）单位阶跃输入可选择，则系统的闭环Z传递函数为因此：系统的输出为：由Z变换定义可以得到输出序列：

输出序列如图2-14(a)所示。如图可见，单位阶跃输入时，最少拍控制系统的调节时间为一个采样周期，即经过一拍即可消除输入和输出之间的偏差。

2）单位速度输入选择则

输出序列如图2-14(b)所示。系统的调节时间为长除法，或利用Z反变换的线性性质，反推回Y(z)

3）单位加速度输入选择系统的输出序列图2-14(C)为单位加速度时输出响应。可见，经过3个采样周期，系统输出跟踪输入。例2-12教材p.23已知被控对象的传递函数，若采样周期T=0.5s，试设计在单位速度输入时的数字控制器D(z)。解：采用零阶保持器，系统的广义对象的脉冲传函为：

系统的输入为r(t)=t，误差传函选为则系统的输出序列为

上述中各项系数即为y(kT)在各个采样时刻的数值。即输出响应曲线如图

2-15所示。

例2-13教材p.24在上例中求得D(z)的基础上，若输入信号改为单位阶跃和单位加速度时，求系统的输出序列并画出响应曲线。解（1）单位阶跃输入各采样时刻输出序列为：系统的输出响应曲线如图2-16(a)所示。

（2）单位加速度输入各个采样时刻的输出序列为：而输入序列系统的输入和输出响应曲线如图2-16(b)所示。

最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差。

2.3.3和的选择按上述最少拍设计原则选择和时，没有考虑HG(z)对D(z)的影响，也没有考虑D(z)的可实现性和稳定性等因素。下面根据系统必须满足的约束条件，考虑和的选择原则。被控对象的HG(z)一般可写为：

则D(z)可表示为：式中，为HG(z)的零点，为HG(z)的极点，为D(z)的超前环节。

和的选择原则1）保证调节时间最短：包含2）保证D(z)的可实现性：包含有项3）保证D(z)的稳定性：包含中|zi|≥1的零点项，包含不稳定极点项。4）保证和同阶（教材p.25）例2-14设最小拍控制系统如图2-17所示，设计单位速度输入时的最少拍数字控制器D(z)，采样周期T=1s。

解（1）求广义对象Z传递函数（2）选择，因为HG(z)分子有的因子，又有单位圆上的零点z=-1，故取：（3）选择，按单位速度输入，中应含有因子。所以：

（4）和阶次相同，设：比较同幂系统，可得到求出：

数字控制器D(z)为：数字控制器D(z)的输出表达式为：系统误差为：可见当后，系统稳态误差

最少拍控制系统只能保证在采样点上的输出跟踪输入，在采样点之间呈现纹波。原因：控制量不是恒定的，而是不停波动的,使得系统输出产生纹波。

最少拍无纹波系统的设计

数字控制器和系统的输出波形可用扩展Z变换求解采样点之间的输出

2.3.4最少拍无波纹控制系统的设计数字控制器D(Z)的输出为若是的有限多项式，则经过有限个采样周期后，可到达某个恒定值，系统的输出没有波纹。当Gc(z)的零点包含HG(z)的全部零点，D(z)Ge(z)可能成为z-1的有限多项式。（有纹波系统只包括不稳定|zi|≥1的零点项）最少拍无纹波系统的设计

最少拍无波纹系统设计中，和设计原则：

（1）的确定（与最少拍有纹波相同）选择，这样便可以满足快速性，又可抵消不稳定极点的影响。Ge包含不稳定极点。

（2）的确定这样可确保D(z)的可实现性和稳定且无波纹的要求。Gc(z)包含HG(z)的全部零点。（3）和的确定根据确定和例2-15设广义被控对象Z传递函数为试设计单位阶跃输入时的最少拍无波纹数字控制器D(z)。解（1）选择误差传递函数和闭环传递函数：输入为单位阶跃信号，HG(z)无不稳定的极点，取：HG(z)有的因子和零点z=-0.718取：

则由即：可以解出：（2）求数字控制器D(z)

（3）系统分析误差：控制量：输出量：

误差、控制和输出量的波形如图2-18所示。由图可见，当时，，说明由第二拍开始，系统输出完全跟踪输入。优点：调节时间短，输出无震荡缺点：只适宜于某种典型型号，当输入信号变化时，输出会产生超调或稳定误差。最少拍系统在有限个采样周期内达到采样点上无偏差。在有