第一章空间向量与立体几何章末检测（基础篇）-2

第一章空间向量与立体几何章末检测（基础篇）考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【解析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.【详解】故选：C2．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据，即可求解.【详解】如图，可知，.故选：A.【点睛】本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题.3．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（）A． B． C．5 D．7【答案】D【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.【详解】，可得，，故选：D4．正六棱柱中，设，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.【详解】正六棱柱中，故选：B5．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为，，所以，则，，由点到直线的距离公式得，故选：A.6．若是平面α内的两个向量，则（）A．α内任一向量(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0C．若不共线，则空间任一向量(λ，μ∈R)D．若不共线，则α内任一向量(λ，μ∈R)【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共面定理判断．【详解】当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．故选：D．7．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，,所以点P到AB的距离．故选：C.8．如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出，，，，，，再计算即可.【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，则，，，AB⋅AD=0，，，则故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（）A．· B．·C．· D．·【答案】ABC【解析】【分析】利用垂直关系的向量表示判断.【详解】如图所示：若AA1=AD，则AD1⊥B1C，A正确；若AB=AD，则BD1⊥AC，B正确；∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，∴两者不可能垂直，D错.故选：ABC.10．已知向量，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：向量，，，，故正确；，1，，故错误；，故错误；，故正确．故选：．11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量与的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·=·=·=6×6×cos60°=18，(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，则||=|++|=6，所以A正确；·=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，所以B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；因为=+-=+，所以||==6，||==6，·=(+-)·(+)=36，所以cos<>===，所以D不正确.故选:AB.12．在正方体中，下列结论正确的是（）A．四边形的面积为 B．与A1B的夹角为60°C． D．【答案】ACD【解析】【分析】结合正方体图形，分别对四个选项进行判断即可.【详解】如图由面得，所以四边形的面积为，故A正确；∵是等边三角形，∴，又∵，∴异面直线与所成的夹角为60°，但是向量与A1B的夹角为120°，故B错误；由向量加法的运算法则可以得到，∵，∴，故C正确；向量运算可得，∵在正方体中，面，∴，∴，故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查用向量的知识和方法研究正方体中线位置关系以及夹角和面积，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．【答案】【解析】【分析】利用，即可求解．【详解】，，，故答案为：．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则________．【答案】10【解析】【分析】由，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解.【详解】∵，，，且，∴，∴．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了应用空间向量数量积求解模长，属于基础题.15．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示________．【答案】【解析】【分析】根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.【详解】有图形可知.故答案为：16．如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：①当为棱的中点时，平面；②存在点，使得；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥的外接球表面积为．其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，因为分别为的中点，故可得//，，根据已知条件可知：//，故//，故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，故//面，故①正确；对②：因为平面平面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则，设，，若GH⊥AE，则，即，解得，不满足题意，故②错误；对③：，因为均为定点，故为定值，又//平面平面，故//面，又点在上运动，故点到平面的距离是定值，故三棱锥的体积为定值，则③正确；对④：由题可得平面，又面为正方形，∴，∴AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，∴AF为三棱锥的外接球的直径，又，∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.故答案为：①③④.四、解答题：本题共6小题，共70分．其中17题10分，18-22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可.（2）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值.【详解】（1）由已知得：，，.（2）由，即，∴，解得.18．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.【答案】(1)建系见解析，，，，；(2)；(3).【解析】【分析】（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答.（2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答.（3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答.(1)在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以，，，.(2)由（1）知，点Q是PC中点，则.(3)由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t，其竖坐标z，当M与A不重合时，，当M与A重合时，z=3满足上式，因此，所以点.19．如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。【详解】（1）∵四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，,,设是平面CDF的一个法向量，则即令，解得又是平面AEFB的一个法向量，∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.21．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，（1）利用空间向量证明，（2）利用空间向量求解【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.则E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴|C|EFEF⋅设EF与C1G所成角为，则故EF与C1G所成角的余弦值为22．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．（1）若中点为，证明：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，因为，，的长度分别为