2022年高二数学上期末试卷

2022年高二数学上期末试卷1．准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为（）

A．y2=﹣8xB．y2=8xC．x2=8yD．x2=﹣8y

2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（）

A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜3

3．不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为，则实数a，b的值为（）

A．a=﹣8，b=﹣10B．a=﹣1，b=9C．a=﹣4，b=﹣9D．a=﹣1，b=2

4．已知函数f（x）=（x﹣3）ex，则f′（0）=（）

A．2B．﹣2C．3D．4

5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得值时n的值为（）

A．7B．8或9C．8D．10

6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．或D．或

7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）

A．12B．10C．8D．2+log35

8．以下命题为真命题的是（）

A．已知x，y∈R，则是的充要条件

B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣无值

C．a，b∈R，

D．x∈R，sinx+cosx=

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则以下关系肯定不成立的是（）

A．a=cB．b=cC．2a=cD．a2+b2=c2

10．已知函数f（x）=（1﹣）ex，若同时满意条件：

①x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；

②x∈（8，+∞），f（x）＞0．

则实数a的取值范围是（）

A．（4，8]B．[8，+∞）C．（﹣∞，0）∪[8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，8]

二、填空题（共5小题，每题5分，总分值25分）

11．命题“x∈N，x2≠x”的否认是．

12．在△ABC中，若BC=3，∠A=，AC=，则∠C的大小为．

13．曲线f（x）=xsinx在点（，）处的切线方程是．

14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图，则不等式组所表示的平面区域的面积是．

15．以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出全部真命题的序号）

①设A，B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜

③双曲线与椭圆有一样的焦点；

④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．

三、解答题（共6小题，总分值75分）

16．已知命题p：x0∈R，使得成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；

（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．

（Ⅰ）若，B=60°，求a，b，c的值；

（Ⅱ）求角B的取值范围．

18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

19．数列{an}满意a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记．

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．

20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；

（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

21．如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

2022-2022学年山东省淄博市高青县高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每题5分，总分值50分）

1．准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为（）

A．y2=﹣8xB．y2=8xC．x2=8yD．x2=﹣8y

【考点】抛物线的标准方程．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先依据准线求出p的值，然后可推断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．

【解答】解：由题意可知：=2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上

故可设抛物线的标准方程为：y2=2px

将p代入可得y2=8x

应选：B．

【点评】此题主要考察抛物线的标准方程，考察学生的计算力量．属根底题．

2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（）

A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜3

【考点】必要条件．

【专题】规律型．

【分析】依据必要不充分的定义即可得到结论．

【解答】解：当x＞1时，满意条件．

x＜1是x＞e的既不必要也不充分条件．

x＞3是x＞e的充分不必要条件．

x＜3是x＞e的既不必要也不充分条件．

应选：A．

【点评】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，利用定义是解决此题的关键，比拟根底．

3．不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为，则实数a，b的值为（）

A．a=﹣8，b=﹣10B．a=﹣1，b=9C．a=﹣4，b=﹣9D．a=﹣1，b=2

【考点】一元二次不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为，可得解出即可．

【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为，

∴

解得a=﹣4，b=﹣9．

应选：C．

【点评】此题考察了一元二次不等式的解法，属于根底题．

4．已知函数f（x）=（x﹣3）ex，则f′（0）=（）

A．2B．﹣2C．3D．4

【考点】导数的运算．

【专题】导数的综合应用．

【分析】依据函数的导数公式直接进展求导，然后即可求f”（0）的值．

【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）ex，

∴f”（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，

∴f”（0）=（0﹣2）e0=﹣2，

应选：B．

【点评】此题主要考察导数的计算，要求娴熟把握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比拟根底．

5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得值时n的值为（）

A．7B．8或9C．8D．10

【考点】等差数列的前n项和．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=﹣8d，再结合题设条件推导出Sn=，由此利用二次函数的对称性能求出结果．

【解答】解：∵首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=S12，

∴，

解得a1=﹣8d，

∵a1＞0，

∴d＜0，

∴

=，

∵d＜0，

∴Sn是一个关于n的开口向下的抛物线，

∵S5=S12，

∴由二次函数的对称性知：

当，即n=8或n=9时，Sn取得值．

应选B．

【点评】此题考察等差数列的前n项和公式的应用，解题时要留意二次函数性质的合理运用，是中档题．

6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．或D．或

【考点】椭圆的简洁性质．

【专题】分类争论；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由题意可得tan30°=，或tan60°=，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

【解答】解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，

是一个含60°角的菱形的四个顶点，

则tan30°=，或tan60°=，

当=时，即b=c，即有a==2c，

由e==；

当=时，即b=c，即有a==c，

由e==．

可得离心率为或．

应选：C．

【点评】此题考察椭圆的标准方程，以及简洁性质的应用，运用分类争论的思想方法是解题的关键．

7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）

A．12B．10C．8D．2+log35

【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】先依据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而依据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最终依据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．

【解答】解：∵a5a6=a4a7，

∴a5a6+a4a7=2a5a6=18

∴a5a6=9

∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10

应选B

【点评】此题主要考察了等比数列的性质．解题的关键是敏捷利用了等比中项的性质．

8．以下命题为真命题的是（）

A．已知x，y∈R，则是的充要条件

B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣无值

C．a，b∈R，

D．x∈R，sinx+cosx=

【考点】特称命题．

【专题】证明题；整体思想；综合法；简易规律．

【分析】A利用充分条件和必要条件的定义进展推断

B利用函数的单调性进展推断

C依据根本不等式成立的条件进展推断

D依据三角函数的有界性进展推断

【解答】解：A．当x=4，y=1，满意，但不成立，即不是的充要条件，故A错误，

B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣为增函数，则当x=2时，函数取得值，故B错误，

C．当a，b＜0时，不成立，故C错误，

D．sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，

∵∈[﹣，]，∴x∈R，sinx+cosx=，故D正确，

应选：D

【点评】此题主要考察命题的真假推断，涉及充分条件和必要条件，函数单调性，根本不等式以及三角函数的真假推断，学问点较多，综合性较强，但难度不大．

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则以下关系肯定不成立的是（）

A．a=cB．b=cC．2a=cD．a2+b2=c2

【考点】余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简其次个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC外形，即可做出推断．

【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，

∴cosA==，

∴A=30°，

由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，

∴B=60°或120°，

当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，

得到a2+b2=c2，2a=c；

当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，

得到a=c，

综上，b=c不肯定成立，

应选：B．

【点评】此题考察了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，娴熟把握定理是解此题的关键．

10．已知函数f（x）=（1﹣）ex，若同时满意条件：

①x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；

②x∈（8，+∞），f（x）＞0．

则实数a的取值范围是（）

A．（4，8]B．[8，+∞）C．（﹣∞，0）∪[8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，8]

【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

【专题】导数的综合应用．

【分析】求导数，由①得到；

由②x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．

【解答】解：由于，则=

令f′（x）=0，则，

故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减

由于x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

当x2＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，此时无解；

当x2≤8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，解得a≤8．

又由x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；

故实数a的取值范围为4＜a≤8

故答案为A

【点评】此题考察函数在某点取得极值的条件，属于根底题．

二、填空题（共5小题，每题5分，总分值25分）

11．命题“x∈N，x2≠x”的否认是x∈N，x2=x．

【考点】命题的否认．

【专题】简易规律．

【分析】依据全称命题的否认是特称命题即可得到结论．

【解答】解：∵全称命题的否认是特称命题，

∴命题的否认是：x∈N，x2=x．

故答案为：x∈N，x2=x．

【点评】此题主要考察含有量词的命题的否认，比拟根底．

12．在△ABC中，若BC=3，∠A=，AC=，则∠C的大小为．

【考点】正弦定理．

【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．

【分析】由已知及正弦定理可得sinB==，由大边对大角可得0＜B＜，即可解得B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．

【解答】解：∵BC=3，∠A=，AC=，

∴由正弦定理可得：sinB===，

∵AC＜BC，由大边对大角可得：0＜B＜，

∴B=，

∴C=π﹣A﹣B=．

故答案为：．

【点评】此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，求B的值是解题的关键，属于中档题．

13．曲线f（x）=xsinx在点（，）处的切线方程是x﹣y=0．

【考点】利用导数讨论曲线上某点切线方程．

【专题】导数的概念及应用．

【分析】求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程．

【解答】解：∵f（x）=xsinx，

∴f′（x）=sinx+xcosx，

∴f′（）=1，

∵f（）=，

∴曲线f（x）=xsinx在点（，）处的切线方程是y﹣=x﹣，即x﹣y=0．

故答案为：x﹣y=0．

【点评】此题考察导数的几何意义，考察切线方程，考察学生的计算力量，属于根底题．

14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图，则不等式组所表示的平面区域的面积是3．

【考点】简洁线性规划的应用．

【专题】数形结合；不等式的解法及应用．

【分析】依据函数图象，确定f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，结合f（2）=f（4）=1，可得一个关于x，y的二元一次不等式组，画出满意条件的可行域，依据平面图形，由面积公式可得答案．

【解答】解：由图可知，f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，

又f（2）=f（4）=1，f（2x+y）≤1，

所以2≤2x+y≤4，

从而不等式组为，作出可行域如下图，

其面积为S=×2×4﹣×1×2=3．

故答案为：3

【点评】此题考察的学问点是简洁线性规划的应用，函数的图象与性质，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．

15．以下几个命题中：其中真命题的序号为③④（写出全部真命题的序号）

①设A，B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜

③双曲线与椭圆有一样的焦点；

④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．

【考点】曲线与方程．

【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】①依据双曲线的定义知①不正确；

②说明点（2，1）在直线3x+4y﹣10=0上，不满意抛物线的定义；

③双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1大于0，即可判定；

④求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定．

【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的肯定值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确；

②在平面内，点（2，1）在直线3x+4y﹣10=0上，

∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，∴②不正确；

③双曲线与椭圆的焦点都是（±，0），有一样的焦点，正确；

④正确方程2x2﹣5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则，∴0＜a＜3，正确；

故答案为：③④．

【点评】此题通过命题真假的判定考察椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目．

三、解答题（共6小题，总分值75分）

16．已知命题p：x0∈R，使得成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；

（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【专题】简易规律．

【分析】此题考察的学问点是复合命题的真假判定，解决的方法是先推断组成复合命题的简洁命题的真假，再依据真值表进展推断．

【解答】解：（1）∵命题p：x0∈R，使得成立

∴￢p：x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立

∴①a≥0时ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立

②由得a≤﹣1

（2）∵命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数

∴命题q为真，实数a的取值范围是：0＜a＜1

∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，

∴命题p、q一真一假

①当p真q假时，则，得实数a的取值范围，﹣1＜a≤0或a≥1

②当p假q真时，则，实数a的取值范围：无解

∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥1

【点评】此题考察的学问点是复合命题的真假判定，属于根底题目

17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．

（Ⅰ）若，B=60°，求a，b，c的值；

（Ⅱ）求角B的取值范围．

【考点】等比数列的性质；余弦定理．

【专题】综合题；等差数列与等比数列；解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值；

（Ⅱ）利用余弦定理，结合根本不等式，即可求角B的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵B=60°

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

联立方程组，

解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∵a2+c2≥2ac，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

∴0°＜B≤60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】此题考察等比数列的性质，考察余弦定理的运用，考察根本不等式，考察学生的计算力量，正确运用余弦定理是关键．

18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

【考点】椭圆的应用．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3，，由此可求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．由于A，B关于点M对称．所以．解得，由此可求出直线l的方程．

（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②

由①﹣②得．③由于A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程．

【解答】解：（Ⅰ）由于点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．

在Rt△PF1F2中，，

故椭圆的半焦距c=，

从而b2=a2﹣c2=4，

所以椭圆C的方程为=1．

（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，

所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．

从而可设直线l的方程为

y=k（x+2）+1，

代入椭圆C的方程得

（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．

由于A，B关于点M对称．

所以．

解得，

所以直线l的方程为，

即8x﹣9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意）

（Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，

所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由题意x1≠x2且，①，②

由①﹣②得．③

由于A、B关于点M对称，

所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，

代入③得=，

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），

即8x﹣9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意．）

【点评】此题综合考察直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要仔细审题，认真解题，避开错误．

19．数列{an}满意a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记．

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（法一）（I）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入求b1，b2，b3，b4

（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观看规律可猜测数列为等比数列，进而可求bn，结合，从而猜测得以证明，代入求出anbn，进而求出前n和sn

（法二）（I）代入递推公式可得，代入可求b1，b2，b3，b4

（II）利用（I）中的递推关系个构造数列为等比数列，从而可求bn，sn

（法三）（I）同法一

（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观看规律可猜测数列bn+1﹣bn为等比数列，仿照法一再证明猜测，依据求通项的方法求bn，进一步求sn

【解答】解：法一：

（I）a1=1，故；，

故；，

故；，

故．

（II）因，

故猜测是首项为，公比q=2的等比数列．

因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致冲突）故．

因，

故确是公比为q=2的等比数列．

因，故，，

由得，

故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===

法二：

（Ⅰ）由得，代入递推关系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0，

整理得，即，

由a1=1，有b1=2，所以．

（Ⅱ）由，

所以是首项为，公比q=2的等比数列，

故，即．

由，得，

故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===．

法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）猜测{bn+1﹣bn}是首项为，

公比q=2的等比数列，

又因an≠2，故．

因此=

；

=．

因是公比q=2的等比数列，，

从而bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=

=

=．

由得，

故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===．

【点评】此题考察了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考察了考生的推理运算力量．

20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；

（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

【考点】抛物线的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，一依题意可知A，B的坐标，设出抛物线的方程，把点B代入求得p，进而可求得抛物线的方程．

（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于P，则可利用导函数求得P的切线的斜率，表示直线l的方程，分别令y=0和2求得x，