(北京卷)2013年高考试卷(文数)

PAGEPAGE42013年普通高等学校招生统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设，，，且，则（）A．B．C．D．3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．

11．若等比数列满足，，则公比；前项和。12．设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为。13．函数的值域为。14．向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为。

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）已知函数（1）求的最小正周期及最大值。（2）若，且，求的值。解：（1）所以，最小正周期当（），即（）时，（2）因为，所以因为，所以，所以，即16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，，，，，，其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，所以概率为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面证明：（1）因为，平面底面且平面底面所以底面（2）因为和分别是和的中点，所以，而平面，平面，所以平面（3）因为底面，平面所以，即因为，，所以而平面，平面，且所以平面因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面且所以平面平面，所以平面又因为平面，所以平面平面18．（本小题共13分）已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。解：（1）因为曲线在点处的切线为所以，即，解得（2）因为所以当时，单调递增当时，单调递减所以当时，取得最小值，所以的取值范围是19．（本小题共14分）直线（）：相交于，两点，是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。解：（1）线段的垂直平分线为，因为四边形为菱形，所以直线与椭圆的交点即为，两点对椭圆，令得,所以（2）方法一：当点不是的顶点时，联立方程得设，，则，，若四边形为菱形，则，即所以即因为点不是的顶点，所以，所以即，即所以此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形不可能为菱形方法二：因为四边形为菱形，所以，设（）则，两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以，两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。

20．（本小题共13分）给定数列，，，。对，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，。（1）设数列为，，，，写出，，的值。（2）设，，，（）是公比大于的等比数列，且，证明，，，是等比数列。（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明，，，是等差数列。解：（1），，（2）因为，，，（）是公比大于的等比数列，且所以所以当时，所以当时，所以，，，是等比数列。（3）若，，，是公差大于的等差数列，则，，，应是递增数列，证明如下：设是第一个使得的项，