2022-2023学年广东省广州重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年广东省广州重点中学高一（下）期中数学试卷1.i是虚数单位，复数1+ai2−iA.2 B.−2 C.−122.已知向量a=(3,1)，b=(1A.−1 B.0 C.1 D.3.如图，△ABC是水平放置的△ABCA.△ABC是钝角三角形

B.△ABC是等边三角形

C.4.已知在△ABC中，B=30°，AB=2A.3 B.3 C.235.设α，β，γ为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是(

)A.若m⊂α，l/​/m，则l/​/α

B.若l上有两点到α的距离相等，则l/​/α

C.α，β，γ两两相交于三条直线l，m，n，若l6.已知向量a=(1,cos2x),b=(A.π6 B.π12 C.5π7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度A.3006 B.1006 C.8.如图，在等腰△ABC中，已知|AB|=|AC|=2，∠A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE=A.77 B.217 C.9.则下列命题中正确的是(

)A.若复数z满足1z∈R，则z∈R B.若z为复数，则z2=|z|2必成立

C.若复数10.已知平面向量a=(0,1)A.|a+b|=36 B.(a+b)⋅(a−b)11.下列命题中，正确的是(

)A.在△ABC中，A>B，则sinA>sinB

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>c12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.A1B/​/平面AEC1

B.EF与BC1所成的角为30°

13.设复数z=1+2i(i是虚数单位)14.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为A

15.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,16.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=5，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△A17.已知向量a=(3,1)，b=(cosx,sinx)，x18.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若b=4，19.如图，在△ABC中，已知|AB|=2，|AC|=62，∠BAC=45°，B20.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA=A21.如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，CD=5，∠AB22.已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．

(Ⅰ)设函数，试求g(x)的伴随向量OM；

(Ⅱ)记向量ON=(1,3)的伴随函数为f(x)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：，

复数1+ai2−i为纯虚数，

∴2−a=02a+1≠0，解得a2.【答案】B

【解析】解：根据题意，向量a=(3,1)，b=(1,1)，

则c=a+kb=(3+k3.【答案】C

【解析】解：将其还原成原图，如图，

设A′C′=2，则可得OB=2O′B′=1，AC=A′C′=2，

从而4.【答案】C

【解析】解：因为，

所以有，

解得BC=4，或BC=2，而已知AC≠BC，所以BC=4，

因此△A5.【答案】AB【解析】解：若m⊂α，l/​/m，则l/​/α或l⊂α，故A错误；

若l上有两点到α的距离相等，则l/​/α或l⊂α或l与α相交，故B错误；

α，β，γ两两相交于三条直线l，m，n，不妨设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，

若l/​/m，则l//γ，又l⊂α，α∩γ=n，∴l/​6.【答案】B

【解析】解：f(x)=a⋅b=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3).

将函数f(x)的图像向左平移φ个单位，得到y=2sin(27.【答案】A

【解析】解：如图由题意得：∠BAC=30°，，AB=600，

在△BCD中，∠CBD=60°，

在△ABC中，∠ACB=75°−30°=45°，

由正弦定理得：ABsin∠ACB=8.【答案】B

【解析】解：在等腰△ABC中，已知|AB|=|AC|=2，∠A=120o，

∴AB⋅AC=2×2×(−12)=−2，

∵M，N分别是边EF，BC的中点，

∴AM=12(AE+AF)=9.【答案】AC【解析】解：对于A，设z=a+bi，(a,b∈R)，

则1z=1a+bi=a−bi(a+bi)(a−bi)=a−bia2+b2∈R，b=0，

故z∈R，故A正确，

对于B，令z=i，z2=−1，|z|2=1，故B错误，10.【答案】BC【解析】解：由题意知，a+b=(33,3)，a−b=(−33,−1)，

对于A，|a+b|=(33)2+32=36=6，即A错误；

对于B，(a+b)⋅(a−b)=−27−11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

A.在△ABC中，由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，即可判断出正误；

B.在锐角△ABC中，由π2>A>π2−B>【解答】解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，故A正确；

对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0,π2)，∵A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，∴sinA>sin(π2−B)=cosB，因此不等式sin

12.【答案】AB【解析】解：如图1所示，设点M为棱A1D1的中点，则MC1，AE平行且相等，所以四边形AEC1M为平行四边形，

又A1B//ME，A1B⊄平面AEC1，ME⊂平面AEC1，所以A1B/​/平面AEC1，故A正确；

由上可知，四边形AEC1M为平面AEC1截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面，

易得AE=EC1=C1M=MA=5，故四边形AEC1M为菱形，

又其对角线EM=22，AC1=23，故其面积为12×22×23=26，故D正确；

设CC1的中点为N，连接EN，FN，因为E，N分别为BC与CC1的中点，所以EN//BC1，

故∠NEF为EF与BC113.【答案】(−【解析】解：∵z=1+2i，

，

∴复数z2对应的点为(−3,4)．14.【答案】45°【解析】解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为BD，A1B的中点知

MN/​/A1D，

易知MN与DD1所成角即A1D与DD1所成角，即∠A1DD1为45°．

15.【答案】4

【解析】【分析】

本题给出向量c用向量a、b线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．

以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量a、b、c的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=−2且μ=−12，即可得到μλ的值．

【解答】

解：以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系

可得a=(−1,1)，b=16.【答案】5【解析】解：设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，

所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，

则BO⋅AC=(BD+DO)⋅AC=BD⋅AC=12(BC+BA)⋅(BC−BA)=12|BC|2−12|BA|2=12，

即12a2−12c217.【答案】解：(1)因为a⊥b所以，所以tanx=−3，

由于x∈(0,π)，所以x=2π3．【解析】(1)根据题意得到tanx=−3，再结合x∈(0,18.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：

a=2RsinA，b=2RsinB代入式子，

化简得，【解析】(1)利用正弦定理化边为角即可求解；

(2)19.【答案】解：(1)∵M为BC的中点，

∴AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12(AC−AB)=12(AB+AC)，

∴A【解析】(1)由条件可得，AM=12(AB20.【答案】解：(1)证明：设G是PC的中点，由于F是PD的中点，

所以GF/​/CD，GF=12CD，

由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，

所以AE/​/CD，AE=12CD，

所以GF/​/AE，GF=AE，

所以四边形AFGE是平行四边形，

所以AF/​/EG，

因为AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，

所以AF//平面PEC．

(2)证明：由于PA⊥平面ABCD，【解析】(1)通过构造平行四边形的方法来证得线面平行；

(2)结合线面垂直的判定定理来证得AF⊥21.【答案】解：(1)设BC=x，在△ABC中，

由余弦定理可得28=x2+4−2x⋅2⋅(−12)，

整理可得：x2+2x−24=0，解得x=4，

所以BC=4，则S△ABC=12×2×4×32=23，

因为CD=5AB2，所以S△【解析】本题考查三角形的正弦定理即余弦定理的应用，及三角形面积公式的应用，属于中档题．

(1)在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，进而求出△ABC的面积，再由CD的值，可得CD与AB的数量关系，求出△ADC的面积，进而求出梯形ABCD的面积．

(2)