考点11双曲线与抛物线【真题模拟练】（解析版）-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）

考点11双曲线与抛物线-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（全国通用）一、单选题1．（2022·浙江·三模）双曲线的实轴长度是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】【分析】由双曲线的几何性质即可得出答案.【详解】的，所以.故双曲线的实轴长度是.故选：D.2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据离心率可求出两条渐近线的倾斜角，从而解出．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．故选：A．3．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线C的离心率【详解】由是一个等边三角形，可得即，则有，即则双曲线C的离心率故选：A4．（2022·上海金山·二模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.5．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设点纵坐标为,解方程即得解.【详解】解：由题得，所以抛物线的准线方程为.设点纵坐标为,则，所以.故选：A6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.【详解】由题意得，所以准线为，又因为，设点的坐标为，则有，解得：将代入解析式得：，所以M点到x轴的距离为．故选：D．7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知抛物线与圆交于A，B两点，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，则，将代入可得，则.故选：C.8．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果.【详解】依题意可得，，在直角中，有，得，得，所以，所以，所以.故选：C.9．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】【分析】依据题意列方程分别求得a、c的值，即可求得的离心率【详解】双曲线的左、右焦点，，设P点坐标为，则由的重心为，可得，把P点坐标代入双曲线C的方程，解之得．又，则．所以可得双曲线C的离心率为故选：B．10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则（

）A．3 B．6 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】表达出B点坐标，代入双曲线方程，即可求解【详解】由题意得：，，因为△ABF为等边三角形，所以，所以，将代入方程得：.故选：B二、填空题11．（2022·江西·模拟预测（文））已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】根据渐近线斜率得关系，进而根据可得离心率.【详解】直线的斜率为则与直线垂直的双曲线的渐近线的斜率为，所以，所以，故答案为：.12．（2022·重庆·二模）若拋物线的焦点也是双曲线的焦点，则___________.【答案】【解析】【分析】先写出抛物线的焦点坐标，再利用双曲线中的进行求解.【详解】因为拋物线的焦点为，且该点也是双曲线的焦点，所以，又因为，所以.故答案为：.三、解答题13．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：为定值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设切线方程代入抛物线方程，由判别式结合三角形面积公式可解；（2）设AB方程联立抛物线方程，由弦长公式可得，由韦达定理可得AB中点坐标可得AB垂直平分线方程，然后解得M坐标可证.(1)将代入得，设抛物线的切线方程为，代入整理得：由题知，解得又，所以所以，解得所以抛物线的方程为(2)记AB中点为N，设直线AB方程为，代入整理得：，则所以因为N为AB中点，所以，所以直线MN的方程为则，所以，所以14．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，，是双曲线的左右顶点，，是该双曲线上关于轴对称的两点，直线与的交点为．(1)求点的轨迹的方程；(2)设点，过点两条直线分别与轨迹交于点，和，．若，求直线的斜率．【答案】(1)（，）(2)【解析】【分析】（1）依题意首先求出，的坐标，再设，，从而表示出、的方程，两式相乘即可得到动点的轨迹；（2）设，，，，，即可得到与、与的关系，再代入椭圆方程可得，同理可得，两式作差即可得解．(1)解：由题知：，．设，，，则则直线的方程：，直线的方程：，

两式相乘得：，即

所以点的轨迹的方程为（，）(2)解：设，，，．设，则，即，代入椭圆方程，得：

即，即①

同理可得：②由②①，得

所以所以直线的斜率．15．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由题知，进而结合题意，根据椭圆的离心率公式得，进而得答案；（2）根据题意得直线方程为，进而与椭圆联立方程得，进而得，再求解圆的方程即可.(1)解：双曲线的离心率，，其中，所以椭圆方程为：(2)解：由题知，故直线方程为，联立直线与椭圆方程得，，其中点为所以，垂直平分线为：以为直径的圆的圆心为：，半径为，以为直径的圆的方程为：.一、单选题1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.二、多选题4．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD三、填空题7．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．【答案】

5

【解析】【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.8．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．9．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【解析】【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．10．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：11．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）四、解答题12．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.13．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；(2)设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.14．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.（2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）[方法一]：通式通法设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.[方法二]：利用焦点弦性质设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．由得，所以．因为，，．由得．同理．由得．因为，所以即．故．令，则．所以，解得或或．故直线在x轴上的截距的范围为．[方法三]【最优解】：设，由三点共线得，即．所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．设直线的方程为，则．所以．故（其中）．所以．因此直线在x轴上的截距为．【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见