物理实验理论课第二讲

物理实验理论课第二讲与确定论不同的是十九世纪后半叶逐步建立起来的概率论描述（随机性理论）。从方法上看概率论同样是深入研究自然规律，特别是复杂系统行为的必要方法，如1905年爱因斯坦用随机过程的概念预言了布朗运动基本特性。2、科学中有两套描述自然规律的体系确定论描述概率论描述确定论认为，只要给定初始条件，就能计算和预测结果，初始条件细小变化，只使运动状态发生微小变化。如20世纪60年代以前，伽利略和牛顿创立的经典力学是确定论描述的典范，如天体运动得到一些很好的结果。长期以来，人们认为确定论描述和概率论描述在认识论上是深刻对立的。但实际的回答是否定的。特别是二十世纪60年代，通过对非线性现象（浅水波的稳定和保守性，保守系统中的随机运动的普遍性）的研究表明，确定论和概率论之间的界限并不是不可逾越的，对初值的细微变化的敏感，使得确定论系统长时间的行为必须借助于概率论方法。

在十九世纪和二十世纪之交，法国数学家庞加莱(H.Poincaré)发现，某些系统中任意小的不确定因素可能会产生复杂的运动，使决定论方程导致无法预测的结果（初值的敏感性）。在一个没有外来随机干扰的“确定论系统”中，同样存在着“随机行为”，其原因在于系统内部的非线性特性。3、非线性问题的一般特征非线性微分方程除极少部分外，一般没有解析解；线性关系一般満足叠加原理，即每种因素是互不相干地独立贡献，而非线性关系则不満足叠加原理，各种因素相互交织，互相渗透；非线性常常是引起系统行为突变的原因。对于线性系统的细小的偏离，往往不会引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，通过修正线性理论去描述。对于非线性系统则不能进行这种修正，而是在一定的积累后系统行为可能发生突变。非线性科学研究的主要方面：

一般认为混沌，分形，孤立波是非线性科学中不可缺少的部分。

二、混沌

“混沌”就是一个典型的非线性问题。1、混沌例如，单摆的运动微分方程为在没有外界的随机干扰时，它的解是完全确定的，即为式中A和0是由初值条件确定的两个积分常数。由系统的动力学特征决定，对于单摆是确定论系统中所表现出的随机行为的总称。它的根源是系统内的非线性相互作用。对于上述的确定论系统，其对于初值条件的细微变化并不敏感。初值条件的细微变化，只是使上式中的A和0值不同，而系统则依然作单摆运动，即其运动规律不会发生质的变化。然而上述结论是有条件的，只有确定论系统本身并无任何非线性成份时，其解才是完全确定的。若该系统虽然是确定论的，但内秉有非线性成份，例如，当摆角50(即sin），即使在受到确定性的激励时，也可能出现“随机”的响应，即显出混沌行为。一个确定论系统在确定性的激励下的响应一定是确定性的，只有当系统本身是随机的，或是在外来随机性的激励下，运动才是随机的。庞加莱三体运动的混沌现象希尔的三个简化：1、三个天体中质量最小的对另外两个天体的影响可以忽略。2、较大的两个天体围绕它们共同的质心作椭圆运动（两个天体相对距离不变）。3、三体在一个平面运动。初始状态：将坐标系固定在两个较大的天体上，x轴与两者的连线平行，y轴垂直于连线，问题简化为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。小天体的运动会是怎样的呢在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。（1）混沌的最显著特征是系统的行为对初值的细微变化极其敏感，

混沌现象是非线性系统在一定条件下的时间演化结果即，在某些非线性系统中，解对初值的依赖特别敏感，任何微小的改变都会引起解的长期性质起变化。2、混沌的一般特征“蝴蝶效应”。若要把这种系统的解长期确定下来，需要无限精确的初值。这在数学上可以做到，但在物理上，由于测量等原因，不可能无限精确，因此，解在短期内的性质虽不会有定性的变化，但在长期内将不可预测，从而得到混沌的解。（2）混沌内还存在一些共同的细微规则混沌并非只是简单地代表一种混乱的无规运动，各类混沌内还存在一些共同的细微规则，在牛顿力学背后隐藏着奇异的混沌，而在混沌深处又隐藏着更奇异的“秩序”。同时，由于混沌的存在，使其对自然现象两种对立的描述──确定论和概率论的描述之间的鸿沟正在缩小。例如，都具有运动局域不稳定性和全局的稳定性；有些混沌区域有内部自相嵌套的细微结构；都具有相同的费根鲍姆常数等等。例如对于经过倍周期分岔的混沌现象，其分岔点的收敛速率3、研究混沌的意义

(1)“混沌”并不是混乱，更不是继量子论，相对论之后的第三次突破。混沌的发现，并不会使人类失去未曾拥有的一切。混沌的发现只是使人们对自然界的认识更加完备，更加深刻。使人们认识到：由现在的已知来完全地推知未来的确定论的观点一直只是一种幻想。但混沌现象造成的局域“混乱”并不会破坏自然界整体所服从的客观规律。(2)自然界是统一的整体，自然科学中对立存在着确定论和概率论的两套描述体系。…其实完全的确定论和纯粹的概率论都是抽象的极限情况。真正的自然界是介于二者之间。对混沌的研究，帮助我们从更为接近实际的一种角度认识自然界，使我们从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来，人们对偶然性和必然性这些哲学范畴的认识也会随之深化。在通信领域的使用通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而，调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并由此信号又具有整体稳定性,当我们用同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时，两个系统的某些部分将产生同步化的行为，这就为混沌应用于保密通信提供了可行性。4、混沌在现代科技领域的应用举例早在1904年，挪威气象学家Bjerknes就提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题。在近年的气象研究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论，如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。

在气象学中的应用在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问题，即用动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的，必须考虑能量的补充和耗散。Lorenz发现了“蝴蝶效应”，指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间。也就是说进行长期预报是不可能的。在生物学中的应用混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变化；医学诊断疾病等方面。这也许是最后的生命图景。从还原---综合还原高度整合。生命不仅是空间结构的范畴，更是时间的范畴，千千万万种物质的时空组合和演变，构成复杂而完美的动态生命体，将生命与非生命区分开来。如何解决生命的本质，很多科学家认为应从多角度入手，不仅仅是生物学的问题，而是一项系统工程，即未来的生命科学，必需包含有数学成分。研究人体这一复杂系统，混沌学、甚至弦论都不可少，只有将这些能研究复杂体系的数理方法融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破。因为生命的最基本本质是具有时空性、混沌性。生命的整体性，包括：（1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；（2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路还很长很长。像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛纳尔公司（Cerner，纽约证交所代码CERN)首席执行官尼尔·帕特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司400名中层经理发出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了两成，逾3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜数。由此而应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论。虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为，动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混沌的研究比自然科学更为困难。目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市场经济周期的观察积累了大量数据(Zarnowitz,1992)。在各种代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据(Chen1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理还不够充分，例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用对中国问题同样有潜在的可能。在经济学中的应用①天体运行的长期行为不可预测；②电路中的混沌现象；非线性系统的控制；③利用分形研究物质结构及性能；混沌在其他学科的应用一、关于对称性对称性是自然界中的一种普遍现象。潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。迢迢远树江天远，蔼蔼红霞晓日睛。遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。宋朝苏东波的回文诗：§2-2时空对称性和守恒定律

雪花六角形花样场离子显微镜下的针尖图形1、几何形状的对称性是指几何形状的各部分间有一定的秩序，或按一定的规律互相重复。

若图形通过某种操作后又回到它自身，则图形对该操作具有对称性。世界上各种各样的对称性表现在两个方面：一是物体几何形状的对称性，另一是事件的进程或规律的对称性。(1)面对称性Xx1-x1x2-x2x3-x3镜面操作：将X变换为-X(空间反演操作)(2)轴对称性---又称转动对称性例如，将一个球或是一个圆，绕中心轴旋转，图形总能回到自身。如果某物体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样，这种对称为转动对称或轴对称。操作：旋转(3)平移对称性在一个无穷大的平面上有无穷多个完全相同的图案，在有限视界内平移一个或几个图案，整个图象可能回到原来自身。(a)(b)三角形与六角网格xzy右xzy2、关于对称的发展在物理学中如空间操作：除平移、转动、反射之外还有空间反演，标度变换等。例如，在某处做一实验，然后将实验设备（连同影响实验的一切外部因素）平移到空间的另一地方，如果初始条件相同，实验将以完全相同的方式进行，此称为物理定律空间平移的对称性；在某处做一实验，然后将实验设备（连同影响实验的一切外部因素）在空间转过一个角度，则在初始条件相同的条件下，实验将以完全相同的方式进行，这说明物理定律没有因转动而发生变化。这就是物理学定律对空间转动的对称性。---空间的各向同性。时间操作中：有时间平移，时间反演等。非时空操作：如：置换、规范变换、共轭变换…等。(3)动量对伽里略变换不具有对称性,因m,v都与参照系有关。但动量守恒律却对伽里略变换