《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

/NUMPAGES24《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布第二章随机变量及其分布一.填空题1.设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X1)=,则P(Y1)=_________.解.,2.已知随机变量X只能取－1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为,则c=______.解.3.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率:P(Xa)=________.P(X=a)=________.P(X>a)=________.P(x1<Xx2)=________.解.P(Xa)=F(a)P(X=a)=P(Xa)－P(X<a)=F(a)－F(a－0)P(X>a)=1－F(a)P(x1<Xx2)=F(x2)－F(x1)4.设k在(0,5)上服从均匀分布,则有实根的概率为_____.解.k的分布密度为P{有实根}=P{}=P{k－1或k2}=5.已知(k=1,2,3),X与Y独立,则a=____,b=____,联合概率分布_____,Z=X+Y的概率分布为_____.解..(X,Y)的联合分布为YX－1－2－3123abZ=X+Y－2－1012P246625112672ab=216,6.已知(X,Y)联合密度为,则c=______,Y的边缘概率密度______.解.所以当时所以7.设平面区域D由曲线围成,二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘密度在x=2处的值为_______.解.D的面积=.所以二维随机变量(X,Y)的密度为:下面求X的边沿密度:当x<1或x>e2时当1xe2时,所以.8.若X1,X2,…,Xn是正态总体N(,2)的一组简单随机样本,则服从______.解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.,所以9.如果(X,Y)的联合分布用下列表格给出,(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P且X与Y相互独立,则=______,=_______.解.YX123121/61/91/181/3两式相除得,解得,.10.设(X,Y)的联合分布律为YX－2－10－1300则i.Z=X+Y的分布律______.ii.V=X－Y的分布律______.iii.U=X2+Y－2的分布律_______.解.X+Y－3－2－1－3/2－1/213P1/121/123/122/121/122/122/12X－Y－1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+Y－2－15/4－3－11/4－2－157P2/121/121/121/123/122/122/12二.单项选择题1.如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数(A),(B)(C),(D)解.(A)不满足F(+)=1,排除(A);(B)不满足单增,排除(B);(D)不满足F(1/2+0)=F(1/2),排除(D);(C)是答案.2.是随机变量X的概率分布,则,c一定满足(A)>0(B)c>0(C)c>0(D)c>0,且>0解.因为,所以c>0.而k为偶数,所以可以为负.所以(B)是答案.3.X～N(1,1),概率密度为(x),则(A)(B)(C)(D)解.因为E(X)==1,所以.(C)是答案.4.X,Y相互独立,且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A)(X,Y)(B)X+Y(C)X2(D)X－Y解.X～,Y～.所以(X,Y)～.所以(A)是答案.5.设函数则(A)F(x)是随机变量X的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解.因为不满足F(1+0)=F(1),所以F(x)不是分布函数,(B)是答案.6.设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数为,则Z=max(X,Y)的分布函数是(A)=max{}(B)=max{}(C)=(D)都不是解..(C)是答案.7.设X,Y是相互独立的两个随机变量,其分布函数分别为,则Z=min(X,Y)的分布函数是(A)=(B)=(C)=min{}(D)=1－[1－][1－]解.(D)是答案.8.设X的密度函数为,而则Y=2X的概率密度是(A)(B)(C)(D)解.(B)是答案.9.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为,则的分布密度是(A)(B)(C)(D)解.是一维随机变量,密度函数是一元函数,排除(A),(B).,所以(D)不是答案.(C)是答案.注:排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算Z的密度:当z<0时当z0时=,(C)是答案.10.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则下列结论正确的是(A)P{X+Y0}=1/2(B)P{X+Y1}=1/2(C)P{X－Y0}=1/2(D)P{X－Y1}=1/2解.因为X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),且X和Y相互独立,所以X+Y～N(1,2),X－Y～N(－1,2)于是P{X+Y1}=1/2,(B)是答案.11.设随机变量X服从指数分布,则Y=min{X,2}的分布函数是(A)是连续函数(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点解.分布函数:当y2时当0y<2时当y<0时于是只有y=2一个间断点,(D)是答案.三.计算题1.某射手有5发子弹,射击一次的命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击,不命中就一直到用完5发子弹,求所用子弹数X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X=1,2,3,4,5. P(X=i)=P(前i－1次不中,第i次命中)=,i=1,2,3,4.当i=5时,只要前四次不中,无论第五次中与不中,都要结束射击(因为只有五发子弹).所以P(X=5)=.于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012.设一批产品中有10件正品,3件次品,现一件一件地随机取出,分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i.每次取出的产品不放回;ii.每次取出的产品经检验后放回,再抽取;iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回,再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,…)i.每次取出的产品不放回X1234pii.每次抽取后将原产品放回X12…k…p…,(k=1,2,…)iii.每次抽取后总以一个正品放回X1234p3.随机变量X的密度为,求:i.常数c;ii.X落在内的概率.解.4.随机变量X分布密度为i.,ii.求i.,ii的分布函数F(x).解.i.当x1时当－1<x<1时当x1时所以ii.当x<0时当0x<1时当1x<2时当2x时所以5.设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数,－<x<+试求:i.测量误差的绝对值不超过30的概率;ii.接连独立测量三次,至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解.因为,－<x<+,所以X～N(20,402).i.=0.4931.(其中(x)为N(0,1)的分布函数)ii.P(至少有一次误差的绝对值不超过30)=1－P(三次误差的绝对值都超过30)=6.设电子元件的寿命X具有密度为问在150小时内,i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少?ii.三只电子元件全损坏的概率是多少?iii.只有一个电子元件损坏的概率是多少?解.X的密度.所以.令p=P(X150)=1－=.i.P(150小时内三只元件没有一只损坏)=ii.P(150小时内三只元件全部损坏)=iii.P(150小时内三只元件只有一只损坏)=7.对圆片直径进行测量,其值在[5,6]上服从均匀分布,求圆片面积的概率分布.解.直径D的分布密度为假设,X的分布函数为F(x).当x0时,F(x)=0当x>0时当F(x)=0当=当x>9时所以密度8.已知X服从参数p=0.6的0－1分布在X=0,X=1下,关于Y的条件分布分别为表1、表2所示表1表2Y123Y123P(Y|X=0)P(Y|X=1)求(X,Y)的联合概率分布,以及在Y1时,关于X的条件分布.解.X的分布律为X01p0.40.6(X,Y)的联合分布为YX123010.10.20.1