【解题指导】基于等差中项性质的前n项和的比值问题

基于等差中项性质的前n项和的比值问题例1（2020·天津市第一百中学期中）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．利用等差数列的前n项和公式列方程组求解或利用等差数列前n项和的性质求解．解析：方法一

设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得5解得d＝5．基于等差中项性质的前n项和的比值问题（2020·天津市第一百中学期中）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．利用等差数列的前n项和公式列方程组求解或利用等差数列前n项和的性质求解．解析：方法二

利用等差数列前n项和的性质求解．由已知条件，得5解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝

＝5．例1基于等差中项性质的前n项和的比值问题（2020·天津市第一百中学期中）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．5名师点评：方法二中，在列出方程组后，也可以不求S奇和S偶的值，而是用比例性质求解．由

，得

．又S偶－S奇＝6d，所以

，解得d＝5．例1基于等差中项性质的前n项和的比值问题例2（1）（2020·河南省南阳一中月考）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且

，则

＝________．（2）在等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件

，则数列{an}的通项公式为____________．（3）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且

，则

＝________．（4）（2020·湖北省孝感高中调研）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

，则

＝________．基于等差中项性质的前n项和的比值问题（1）（2020·河南省南阳一中月考）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且

，则

＝________．解析：（1）方法一

由性质（4）知

方法二

由条件可设Sn＝（7n＋2）nt，Tn＝（n＋3）nt（t≠0），则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，故

例2基于等差中项性质的前n项和的比值问题（2）在等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件

，则数列{an}的通项公式为____________．解析：（2）设等差数列{an}的公差为d，由

得所以a2＝2，即d＝a2－a1＝1，所以an＝n．（3）因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以（3）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且

，则

＝________．an＝n例2基于等差中项性质的前n项和的比值问题（4）（2020·湖北省孝感高中调研）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

，则

＝________．解析：（4）设An＝kn（7n＋45），Bn＝kn（n＋3），k≠0，则an＝k（14n＋38），bn＝k（2n＋2），则例2基于等差中项性质的前n项和的比值问题解题通法解决等差数列前n项和的比值问题