2021年高二下学期期中数学试卷(理科)-含解析

2021年高二下学期期中数学试卷（理科）含解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．复数为虚数单位）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣12．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．= B．＜ C．=且＞ D．=或＜3．（x﹣2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．204．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种 B．70种 C．75种 D．150种5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个 B．120个 C．96个 D．72个6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7．6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．248．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）10．设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=x（x+a）2在x=1处取得极小值，则实数a的值为．12．复数z满足=i，则|z|=．13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．14．在10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率为．15．已知a=的二项展开式中，x的系数为．三、解答题16．已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z﹣2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|．17．已知函数f（x）=ex（x2﹣ax+1）（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y﹣1=0．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求实数f（x）的极值．18．（+）n的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3．（1）求展开式中的常数项；（2）求二项式系数最大的项．19．用数学归纳法证明（1+x）n＞1+nx，这里x＞﹣1且x≠0，n∈N*且n≥2．20．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．21．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

xx学年山东省德州市武城二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．复数为虚数单位）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣2i的虚部为﹣2．故选：B．2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．= B．＜ C．=且＞ D．=或＜【考点】反证法与放缩法．【分析】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．【解答】解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．3．（x﹣2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．【解答】解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52=C53=10，故选：B．4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种 B．70种 C．75种 D．150种【考点】排列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选C．5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个 B．120个 C．96个 D．72个【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选：B6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．7．6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24【考点】计数原理的应用．【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．8．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a•=5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•=5，解得a=﹣1，故选：D．9．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．10．设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．【解答】解：令g（x）=，∴g′（x）=，∵x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当﹣2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=x（x+a）2在x=1处取得极小值，则实数a的值为﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f′（1）=0，解得a的值，再验证可得结论．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2+4ax+a2，∴f′（1）=3+4a+a2=0，解得a=﹣1，或a=﹣3，当a=﹣1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函数在x=1处取得极小值，符合题意；当a=﹣3时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函数在x=﹣3处取不到极大值，不符合题意，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．12．复数z满足=i，则|z|=1．【考点】复数求模．【分析】直接由=i利用复数代数形式的乘除运算求出z，则z的模可求．【解答】解：∵=i，∴．则|z|=1．故答案为：1．13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．14．在10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据对立事件的概率公式计算即可．【解答】解：10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，全是一级品的概率为=，则至少有一件为二级品的为1﹣=，故答案为：15．已知a=的二项展开式中，x的系数为﹣40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a=2，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：∵a==sinx=1﹣（﹣1）=2，∴=的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•25﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，故展开式中x的系数为﹣•22=﹣40，故答案为：﹣40．三、解答题16．已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z﹣2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1）（1+bi）2=1﹣2bi﹣b2，∴1﹣b2=0，．又b为正实数，∴b=1．∴z=3+i．（2），∴．17．已知函数f（x）=ex（x2﹣ax+1）（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y﹣1=0．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求实数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，根据切线的斜率是﹣3，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex，而切线方程为3x+y﹣1=0，斜率k=﹣3，∴f′（0）=1﹣a=﹣3，解得：a=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=ex（x2﹣4x+1），f′（x）=ex（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在（﹣1，3）递减，∴f（x）极小值=f（3）=﹣，f（x）极大值=f（﹣1）=﹣．18．（+）n的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3．（1）求展开式中的常数项；（2）求二项式系数最大的项．【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【分析】（1）由条件可得=，由此求得n的值．（2）利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．【解答】解：（1）∵的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3，即=，求得n=15．（2）根据展开式的通项公式为Tr+1=•，可得当r=7或8时，二项式系数取得最大值，故展开式中二项式系数最大的项为T8=•x﹣3，T9=•为．．19．用数学归纳法证明（1+x）n＞1+nx，这里x＞﹣1且x≠0，n∈N*且n≥2．【考点】数学归纳法．【分析】（1）验证当n=2时，原不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，由数学归纳法证明当n=k+1时不等式也成立即可．【解答】证明：（1）当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，∵x2＞0，∴左边＞右边，原不等式成立；（2）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx，则当n=k+1时，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）（2）可得对一切正整数n，不等式都成立．20．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=．21．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函