第3章不等式单元综合测试卷（解析版）

第3章不等式单元综合测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】对一切实数都成立，①时，恒成立，②时，，解得，综上可得，，故选：C.2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当且仅当时等号成立，，，当且仅当时等号成立，；故选：B.3．若不等式​的解集为​，则​=（）A．​ B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】因为不等式​的解集为​所以，-2和1是方程​的两实数根所以，解得所以.故A，B，C错误.故选：D.4．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】则故选：C5．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为、是正实数，且，则，，因此，.故选：B.6．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润最大.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，设二次函数的解析式为，所以，解得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：C7．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原不等式等价于，即对任意x恒成立.，所以，解得，故选：D8．已知，且，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因为，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【解析】对于A：因为，所以，，所以，故A为真命题；对于B：因为，，所以，同理可得，即，故B为真命题；对于C：因为，，所以，故C为假命题；对于D：因为，，所以，，，所以，故D为假命题．故选：AB．10．（多选）已知，都为正数，且，则（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：ABD11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；取，，此时不等式的解集为，故B正确；取，，则由，得或3，故C正确；若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．故选：BCD．12．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A：由知，与同号．若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，．同理可证，故A正确；对于B：根据题意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正确，D正确；对于C：由A知，，，，是整数，所以，．由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的解集是___________.【答案】或【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为，所以，且方程得解为，则，所以，则不等式，即为，即，解得或，所以的解集是或.故答案为：或.14．已知集合,,若，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】依题意，，当，即时，，当，即时，，当，即时，，又，，于是得，解得，或，解得，而，则，综上得：，所以实数a的取值范围为．故答案为：15．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】由，即，设，当时，最小值，而，，∴，∴要使不等式在内有解，则，即a的范围是.故答案为：.16．若，，，则当______时，取得最小值．【答案】【解析】因为，，所以，即．当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．综上所述，当时，取得最小值．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）实数，满足，.(1)求实数的取值范围；(2)求的取值范围．【解析】（1）由，两式相加得，，∴，即实数a的取值范围为．（2）设，则，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范围为．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【解析】（1）由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝55+28，当且仅当，即x，y时等号成立，所以的最小值为8；（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m恒成立，又x+y＝2，所以（），由（1）可知8，所以（）≥4，当且仅当，即x，y时等号成立，即4，故m的最大值是4．19．（12分）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【解析】（1）由题意可知，令，得，解得，所以从第年起开始盈利；（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．若选择方案②，纯利润，所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．20．（12分）已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，故方程的一个根大于1，另一个根小于1，则，解得，所以a的取值范围是．（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数的大致图象，由图知，，解得．所以a的取值范围是．（3）方程的两个根都大于0，则，解得，所以a的取值范围是．21．（12分）已知关于x的不等式的解集为．(1)求实数a，b的值；(2)当，，且满足时，有恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）因为不等式的解集为，所以和b是关于x的方程的两个实数根，且．因为是的一个实数根，所以，解得．将代入，得，解得，所以．（2）由（1）得，故，当且仅当，即，时，等号成立，由题意得，即，解得，所以实数k的取值范围为．22．（12分）已知函数，(1)恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，求不等式的解集；(3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值.【解析】(1)由得：恒成立，恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.(2)当时，；令，解得：，；当