第一章第一单元《集合与常用逻辑用语》复习课导学案高中数学新北师大版必修第一册

第一章第一单元《集合与常用逻辑用语》复习课(1分钟)1.构建知识体系，明确知识与方法的联系，将知识转化为技能，提高综合应用能力.2.掌握本单元主要题型及解法，熟悉各类题型的解题步骤和思想方法.3.培养数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养.(3分钟)教师引导学生先自行构建思维导图，可选几个学生进行展示，充分肯定学生的优点，在主体结构基本合理的前提下，允许有漏洞，鼓励形式多样化，然后公布下面的思维导图：(2分钟)1.根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集、真子集的概念，充分运用分类讨论和数形结合思想，要特别注意空集的特殊性和集合中元素的互异性.2.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.首先确定是点集还是数集，然后正确求解不等式或方程，再进行集合运算.解题时常常借助Venn图或数轴进行数形分析，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.3.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p⇒q，而q⇏p.(2)必要不充分条件，即p⇏q，而q⇒p.(3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，既有p⇏q，又有q⇏p.4.充分条件与必要条件的判断.(1)直接利用定义判断(命题法)：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.(条件与结论是相对的)(2)有时也利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(3)利用集合间的包含关系进行判断(集合法)：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件；若p，q无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件.5.利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.6.“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.(1分钟)题型一：子集与真子集的概念；题型二：集合中的基本运算；题型三：关于集合的新定义题；题型四：集合的实际应用；题型五：充分、必要条件的判断；题型六：量词的应用；……(自主归纳)(探究1用时8分钟；探究2用时6分钟；探究3用时9分钟；探究4用时7分钟，约30分钟)探究1：集合的概念及基本运算【例1】已知集合A={x|-x2+4x-3>0}，B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B=∅，求实数m的取值范围.【方法指导】先化简集合A.(1)利用并集的定义求解；(2)借助数轴建立关于实数m的不等式组求其取值范围；(3)分B=∅和B≠∅两种情况讨论.【解析】由-x2+4x-3>0，得x2-4x+3<0，解得1<x<3，所以A={x|1<x<3}.(1)当m=-1时，B={x|-2<x<2}，则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B，知1-m>2m，即实数m的取值范围为(-∞，-2].(3)由A∩B=∅，得①若2m≥1-m，即m≥13时，B=∅②若2m<1-m，即m<13时，需m<解得0≤m<13综上可得，m≥0，即实数m的取值范围为[0，+∞).【小结】集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算.在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误.具体数集的运算一般采取数轴法，而抽象集合的运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论.【针对训练1】已知全集U=R，若集合A={x|3≤x<8}，B=xx-(1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)(结果用区间表示)；(2)若集合C={x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围.【解析】x-6x-2解得2<x≤6，则B={x|2<x≤6}.(1)∵A={x|3≤x<8}，B={x|2<x≤6}，∴A∩B=[3，6]，A∪B=(2，8)，(∁UA)∩(∁UB)=(-∞，2]∪[8，+∞).(2)∵A={x|3≤x<8}，C={x|x>a}，又A⊆C，在数轴上表示出集合A，C，如图.由图可知，a的取值范围为{a|a<3}.探究2：充分、必要条件的判断【例2】设集合S={0，a}，T={x|x2<2，x∈Z}，则“a=1”是“S⊆T”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【方法指导】利用充分、必要条件的定义判断即可.【解析】T={x|x2<2，x∈Z}={-1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S={0，1}或S={0，-1}.所以“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件.【答案】充分不必要【小结】充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，才是最好的方法.背景是不等式的可使用集合模型来判断，集合间的包含关系，对充要条件的外延与内涵做了直观形象的解释，实践证明效果较好.【针对训练2】已知p：-1<2x-3<1，q：x(x-3)<0，则p是q的()A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由-1<2x-3<1，得1<x<2，即p：{x|1<x<2}.由x(x-3)<0，得0<x<3，即q：{x|0<x<3}.∵{x|1<x<2}⫋{x|0<x<3}，∴p是q的充分条件，但不是必要条件.【答案】A探究3：关于集合的新定义题【例3】设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x+y∈A，x-y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.给出以下四个结论：①集合A={-2，-1，0，1，2}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是.【方法指导】根据封闭集的定义逐个排除.【解析】①中，集合A={-2，-1，0，1，2}，-2-2=-4不在集合A中，所以A不是封闭集.②中，设x，y∈A，则x=2k1，y=2k2，k1，k2∈Z，故x+y=2(k1+k2)∈A，x-y=2(k1-k2)∈A，xy=4k1k2∈A，故②正确.③中，举反例：集合A1={x|x=2k，k∈Z}，A2={x|x=3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集.故③不正确.④中，若A为封闭集，则取x=y，得x-y=0∈A，④正确.故正确结论的序号是②④.【答案】②④【小结】新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题.【针对训练3】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论.①2019∈[1]；②-3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a-b∈[0]”.其中，正确结论的序号是_______.【解析】因为2019＝5×403＋4，所以2019∉[1]，故结论①不正确；因为-3＝5×(-1)＋2，所以-3∈[2]，故结论②不正确；因为所有的整数被5除所得余数只能为0，1，2，3，4，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故结论③正确；设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a-b∈[0]，则a-b＝5(n1-n2)＋(k1-k2)∈[0]，所以k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，故结论④正确.【答案】③④探究4：量词的应用【例4】(1)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0与命题q：∃x∈R，x2+2ax+2+a=0都是真命题，求实数a的取值范围.(2)已知命题p：∃x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0与命题q：∃x∈R，x2+2ax+2+a=0，若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围.【方法指导】抓住量词，列不等式(组)求解.【解析】(1)将命题p转化为“当x∈{x|1≤x≤2}时，(x2-a)min≥0”，即1-a≥0，解得a≤1.命题q即方程x2+2ax+2+a=0有解，所以Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0，解得a≤-1或a≥2.由p与q均为真命题得a≤1，a综上所述，实数a的取值范围为a≤-1.(2)命题p转化为“当x∈{x|1≤x≤2}时，(x2-a)max≥0”，即4-a≥0，解得a≤4.命题q同(1).因为p是真命题，q是假命题，所以-1<a<2，a综上所述，实数a的取值范围为-1<a<2.【小结】全称量词命题与存在量词命题是两类特殊的命题，解决有关此类命题的题目时，一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，列不等式(组)求解.(1分钟)素养图谱(5分钟)1.【2021年高考全国甲卷理数】设集合M=x0<x<4，A.x0<C.x4≤x<【答案】B2.【2021年全国新高考=1\*ROMANI卷】设集合A=x-2<x<4，B={2，3，4，A.{2} B.{2，3} C.{3，4}D.{2，3，4}【答案】B3.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则∁U(A∪B)=(A.{−2，3}