2020年度自考04184线性代数(经管类)讲义

2020年度自考04184线性代数（经管

类）讲义

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自考高数线性代数课堂笔记

第一章行列式

线性代数学的核心内容是：研究线性方程组

的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用

的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有

效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在

本课程中极其重要，而且在其它数学学科、乃至

在其它许多学科（例如计算机科学、经济学、管

理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

:符号■叫一阶行列式，它是一

“、规尢as

注意：在线性代数中，符号」不是绝对值。

例如|5|=5,且卜5|=-5；

ab\

（2）定义：符号4』叫二阶行列式，

ab

它也是一个数，其大小规定为：C因

此二阶行列式的值等于两个对角线上的数的

积之差。（主对角线减次对角线的乘积）

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=lx4-2x3=-2

(3)符号内为叫三阶行列式，它也是

%4q

a2b2c2

一个数，其大小规定为务G

=a机c+a2b3c1+a7bf2-a也G-。也J一出自Q

=lx5x9+4x8x34-7x2x6-7x5x3-4x2x9-lx6x8=0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家

掌握三阶行列式的计算公式，我们能够采用下面

的对角线法记忆

JGJ)

=a也q+01bls+以a&G-以?瓦q-

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式

的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下

角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对

角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主

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对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上

的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与

次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

(1)

=1x5x9+2x6x74-3x4x8-3x5x7-1x6x8-2x4x9=0

(2)

=外义瓦XC3+4乂。2xO+qxOxO-qx%xO-,xc?xO-瓦xOxq

二白也Q

(3)

ut00储07-0

小k0

<\

小，0

=axxb2xc3+0x0xa34-0xa2-0xi2xa3一以】xOx与一Oxa?xc3

—a182c?

(2)和(3)叫三角形行列式，其中(2)

叫上三角形行列式，(3)叫下三角形行列式，由

(2)(3)可见，在三阶行列式中，三角形行列

式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是

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0,例如

213

031=2x3x(-2)=-12

00-2

300

1-20=3x(-2)x4=-24

234

200

030=2x3x(—1)=—6

00-1

2a

例1a为何值时，34

［答疑编号10010101：针对该题提问］

2a

=8-3a

解因为34

2a

7时=0

因此8-3a=0,34'

x-l42

-2xx>0

例2当x取何值421时,

［答疑编号10010102：针对该题提问］

解：

X-I42X-4tI

-XXX77X

442

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=(x-l)x-1+4-x-4-1-2-(-2)-2-2x4

_(x_1)・x•2-4(-2)1

=x2-x+16x-8-8x-2—+2x+8

=-X2+9X

=x(9-x)>0

=(x-l)xl+4x-4+2-(-2)2-2x-4

-(x-l)x2-4(-2)l

=-x+16x-8-8x-2/+2x+8

=-x2+9x

=x(9-x)>0

解得0vxv9

因此当0vxv9时，所给行列式大于0。

(二)n阶行列式

an%…a]x

乌n=的:1a:22■"a2:n，

符号:a*iani•••%*

它由n行、n列元素(共M4元素)组成，

称之为n阶行列式。其中，每一个数%称为行列

式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它

表示这个数即在第i行上；后一个下标j称为列

标，它表示这个数即在第j列上。因此即在行列式

的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起

见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式&一般

也简记作

n阶行列式2/L也是一个数，至于它的值的

计算方法需要引入下面两个概念。

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(1)在n阶行列式2中，划去它的第i行和

第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个

(ml)阶行列式叫元素%的余子式，记作陶

例如，在三阶行列式

以11ai2&

口3=以21%a23

a31%电3

中，%的余子式均表示将三阶行列式戏！J去第

1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的

二阶行列式，因此

相似地，外的余子式M表示将三阶行列式或U

去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列

式。因此

a31a32

132

03=478

例1若569,求：

(1)也

［答疑编号10010103：针对该题提问］

(2)g

［答疑编号10010104：针对该题提问］

(3)监3

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［答疑编号10010105：针对该题提问］

(4)g

［答疑编号10010106：针对该题提问］

48

==36-40=-4

解(1)59

32

21

(2)69

47

/、、==24—35=-11

(3)56

12

(4)%=4厂8-8=°

(2)符号4叫元素%的代数余子式

定义：4=(-1产姓.(系数其实是个正负符号)

例2求例1中2的代数余子式

(1)&

［答疑编号10010107：针对该题提问］

(2)&

［答疑编号10010108：针对该题提问］

(3)4

［答疑编号10010109：针对该题提问］

(4)&

［答疑编号10010110：针对该题提问］

解：(1).,峪2=-4

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:.4=(-1产

=(-O'

=(-1)(-4)=4

(2)•.此1=15

Ai=(-1严Mi=-此1=-15

(3)；必=-11

4?==Mi?=—11

(4)；%=Q

&=(-1产'%2=-M32=0

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数,

等于原数）

、、

以”11以s12aS

口3=221叼2以23

例3若。31%%3

vf"算L1M1+。2出1+&31&（以上两组数相等）

［答疑编号10010111：针对该题提问］

解：

■Mi2Ml+%i4i

=%(-1严%]+以鼠-1严％i+%](T严监1

=%iMi-+%Mi

=«11（白22以33一023%）一々21（%的3—仪13%2）

+々31（知以23一，3%）

=以1必22033+以12白23%1+，3以21«32一以11以23%2

一%叼1%3一

由于

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=&1/22«33++，3以21732

一以13a22&1一%《23%2一知“21电3

与例3的结果比较，发现

«12以13

2="21a22223="1M1+々2141+%41

为1%a33

这一结果说明：三阶行列式a等于它的第一

列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结

果能够推广到n阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式

anai2…a\n

以力■■,a、%

2=：-：=，/1+

41/2…%

n

1=1

即规定n阶行列式&的值为它的第一列的元

素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为

4=峪1,41=-此1,

&=机1，一.4=（一1严此1

因此有

.=必1-叼1必1+生1峪1T卜监1

特别情形

D?—«11财n—以21舷21+%］舷31

2=，1河11-舷21+电1瓦31-即M41

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例4计算下列行列式

ana12«13以14

D_0a23%

00^33434

(1)000%

［答疑编号10010112：针对该题提问］

anan

0a32

口4=

00

00

=+。231+。31工31+。4141

=au4+0x4i+0x4i+0x&i

=anMn

=a“a22a33a44

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等

于它的主对角线各数之积=佝修必如

知ai2ai3以14ai5

0。22^25，4出5

&=00%4%5

000%。45

(2)0000a55

［答疑编号10010113：针对该题提问］

=anAn+%4i+%1&+4141+«5Ml

=,]4]+0+0+0+0

=%]+0+0+0+0

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仪22以23N24以25

0e3a34a35

0

°«44«45

000a55

二«1#2%力以44。55

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的

主对角线各数之积的避2A3包心

一般地可推得

……Cu

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的

主对角线各数之积如知F

同理有

以n00…0

a220…0

.=ana22"ajst

41%2%3…%及

1.2行列式按行（列）展开

在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把2按

其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，

再求出其值。实际上，行列式能够按其任意一行

或按其任意一列展开来求出它的值。

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现在给出下面的重要定理，其证明从略。

定理121(行列式展开定理)n阶行列式

以kL等于它的任意一行(列)的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即

D=ail41+q2+…+(i=l,2,・・・,n)

(1.8)

或八为4+。2/&+…+%4(j=l,2,...,n)

(1.9)

其中，4是元素%在D中的代数余子式。

定理L2.1(行列式展开定理)n阶行列式

人助等于它的任意一行(列)的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即

++…+%4(i=l,2,...,n)

(1.8)

或…+%4(j=l,2,...,n)

(1.9)

其中，4是元素%在》中的代数余子式。

(1.8)式称为D按第i行的展开式，(1.9)

式称为D按第j列的展开式，这里i,j=l,2,...

上述展开定理也能够表示成

D=(-1严%必+(-1严如跖2+…+(-D"&心

(i=l,2,...,n)

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D=(―1产%Mu+(-1严％M/+…+(T产%陷・

(j=l,2,.・・,n)

这两个展开式中的每一项都由三部分组成：

元素时和它前面的符号㈠产以及它后面的余子式

必，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素%

（特别是％7）抄写下来。

根据定理121知道，凡是含零行（行中元

素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式,

其值必为零。

特别情形

（1）

2

=141+“2141+。31/31

—々12"12+«22"^22+^32^^2

二如4？+々23工23+以3343

="1M1~^^1242+以134?

二《2141+^22-422+02343

=“3141+%42+/A?

(2)

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=414+%41+%14+。41Al

二以12512+^22^^22+%242+々4?42

=«1343+以23*^23+%343+«4343

=^14^14+。制4+%444+以4444

=4]]4]1+，242+4]3413+以1444

二々2141+以n422+以23当3+以系41

=&1&+。32&+%343+以8&

=。4141+4a4a+々434？+々4444

00

00

以33°

例5计算«41«42々43即

［答疑编号10010201：针对该题提问］

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可

按第一行展开（解题技巧）

。="1141+为4？+以以4?+以14工14

'2=«］?=,4=0

Z）=0］］肠11+0+0+0

%0°

a

=n%%30

以42以43444

=%1%2733以44

可见四阶下三角形行列式的值也等于它的

主对角线各数之积。3处

例5的结果可推广为

**

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我们称这种行列式为下三角行列式（可任意

取值的元素在主对角线的下面）。

121-1

0030

D.=

42003

例6计算1121

［答疑编号10010202：针对该题提问］

解：由于第2行含0最多，因此应按第二行

展开

=42141+^22-^22+。23+^24-^24.

。21="22=°24=°

二Z)4=0+0+。23"^23+0=—a23M25

12-1

=-3203

111

=-3{++。23"^23}

=-3]—如肠?1+0—。23M石)

=-3{-2x3-3x(-1))

=9

o10000

002000

000300

口

000040

000005

例7计算600000

［答疑编号10010203：针对该题提问］

解：将&按第6行展开得

口6~+%42+以6343+%4+%4S5+/646

=一&Mi

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10000

02000

=—600300

00040

00005

=-6xlx2x3x4x5

=-61

例8计算

的a3%

6,%

D="44

qo00

(1)4o00

[答疑编号10010204：针对该题提问]

解：按第4行展开

D—以4141+0+0+0

=-a41M41

%%a4

=—d]b]bq=0

000

ax00a4

U_0占a40

0c2c30

(2)&。0/

［答疑编号10010205：针对该题提问］

解：将D按第一行展开

D=/Mi+0+0+&MJ414

=。11弧1一4M14

占200

a

=ic30一。40c2c3

004400

=--a4dl（瓦匕3—与。2）_L.

=31或-44）（姐一3）（重新分组后得出）

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1.3行列式的性质与计算

因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项

都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非

常大，例如，10!=3628800o因此对于阶数较大

的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用

行列式的性质能够有效地解决行列式的求值问

题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列

式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1行列式的性质

将行列式D的第一行改为第一列，第二行

改为第二列……第n行改为第n歹!J,仍得到一个

n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列

式，记为或D，。即如果

anan…aix

口_a22…a2x

a油…%

以na2\""an\

_%a22…%

贝（Ia2K

性质1行列式和它的转置

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行列式相等，即口=口丁或

Rlai2…%

a21a22…a2n

根据这个性质可知，在任意一个行列式中，

行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立的性

质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性

质，对“行”也成立。因此只需研究行列式有关行

的性质，其所有结论对列也是自然成立的。

（运用最多）性质2用数k乘行列式D中某

一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kDo

这也就是说，行列式能够按某一行和某一按列提出

公因数：

她I她2•••他;

证将左边的行列式2按其第i行展开以后,

再提出公因数k,即得右边的值：

4=,帆4=上4=目%[=kD

注鲁如鼠行列式有多行或多列有公因数,

必须按行或按列逐次提出公因数。

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255

6410

例1计算行列式:3615

［答疑编号10010206：针对该题提问］

255255251

6410=2x3x325=2x3x5321

解3615125121

=30(4+6+5-2-4-15)

=30(-6)=-180

在例1的计算过程中，我们先提出第二行的

公因数2和第三行的公因数3,得到第一个等号

右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公

因数5,把行列式中各元素的绝对值化小以后，

再求出原行列式的值。

-abacae

bd-cdde

例2bfcj

［答疑编号10010207：针对该题提问］

-abacce-111

bd-cdde=adfb-ce=abcdef1-11

-efbc-&11-1

因为

=(-1)4-14-1—(—1)—(—1)—(—1)

=4

因此原式=4abcdef

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这里是把上式第一个等号左边的行列式的

第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f,第二个

等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了

公因子b,c,e,化简后再求出其值。

0ab

-a0c

例3计算行列式：--。

在行列式D的每一行中都提出公因数（-1）

并用行列式性质1能够得到

［答疑编号10010208：针对该题提问］

0ab0-a-b

D=-a0c=(-1)3a0-c

-b-c0bc0

=-7/=-D

因为行列式D是一个数，因此由D=・D,可

知行列式D=0o

用这种方法能够证明:任意一个奇数阶反对

称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其

中主对角线上的元素全为o,而以主对角线为轴:

两边处于对称位置上的元素异号。即若八kL是反

对称行列式，则它满足条件为=-针,/=1,2，，阀

（运用最多）性质3互换行列式的任意两行

（列），行列式的值改变符号。即对于如下两

个行列式

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aaaa

n以12…%nn…in

------

aaa

%i2ma》aajn

D=---A=--

勺2…。■1%…知

••■"

4tl4a%及以及14t2%及

有口=上1

根据这个性质能够得到下面的重要推论：

推论如果行列式中有两行（列）相同，则

此行列式的值等于零。

因为互换行列式D中的两个相同的行（歹！J）,

其结果仍是D,但由性质3可知其结果为・D,因

此口=4）,因此D=0。

性质4如果行列式中某两行（列）的对应元

素成比例，则此行列式的值等于零。

证设行列式D的第i行与第j行的对应元

素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以

k得到的，则

ailai2

D=：：

小嫡2

3%

由于将行列式D中第j行的比例系数k提到

行列式的外面来以后，余下的行列式有两行对应

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元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列

式的值等于零。行列式中某两列元素对应成比例

的情形能够类似地证明。

1237

21x3

"'）=2345=0

例4验算X=3是否是方程4266的

根。

［答疑编号10010209：针对该题提问］

1237

2133

/⑶=2345=°

解：因为4266（第二行与第四

行成倍数）

・・・x=3是方程f（X）=0的根。

性质5行列式能够按行（列）拆开，即

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这就是右边两个行列式之和。

（运用最多）性质6把行列式D的某一行（列）

的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列）

的对应元素上去，所得的行列式仍为D。

即：

例5证明:

1100

1k10

D==0

00k2

002k

的充要条件是k=l或k=±2

［答疑编号10010301：针对该题提问］

证因为

h1oo

1k10

D=

00k2

002k②+（ax①（第一行的数乘与（-1）加

到第二行上去）

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1100

0k-110_k-110

=

00k20k2=Ik2

002k02kJ2k=«_1)/T)

因此，D=0的充要条件是k=l或k=±2o

此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记

号，将每一步的行变换写在等号上面(若有列变

换则写在等号下面，本题没有列变换)，即第一

步中的②+(・1)x①表示将第一行的“倍加到第

二行上，第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质，我

们有下面的定理:

D=

定理1.3.1n阶行列式hl的任意一

行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余

子式的乘积之和等于零，即

沏4+如42+…+a/辰=0(iwk),

(1.10)

ajjA.k+1-=。(5。左),

(1.11)

1.3.2行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方

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法。

（1）利用行列式的性质，把原行列式化为

容易求值的行列式，常见的方法是把原行列式化

为上三角（或下三角）行列式再求值。此时要注

意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列

式的前面乘上（-1）,在按行或按列提取公因子k

时，必须在新的行列式前面乘上k。

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列

展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，一

般是利用性质6在某一行或某一列中产生很多

个“0”元素，再按包含0最多的行或列展开。

2310

4-2-1-1

-2121

例6计算行列式。11。

［答疑编号10010302：针对该题提问］

解由于上三角行列式的值等于其主对角

线上元素的乘积，因此我们只要设法利用行列式

的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行

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2310

0110

0431

②一④0-8—3-1

2310

0110

③+(-4)X200-11

④坨X②005-1!

20

00

00-11

④+5X③0004

我们在计算例6中的行列式时，是利用行列

式的性质先将它化成上三角行列式后，再求出它

的值，事实上在计算行列式的值时，未必都要化

成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与

展开定理结合起来使用，往往能够更快地求出结

果。

1021

2-110

口4=

1203

例7计算行列式：。321

［答疑编号10010303：针对该题提问］

解观察到行列式的第一行第一列位置的

元素an=l,利用这个（1,1）位置的元素1把

行列式中第一列的其它元素全都化为0,然后按

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第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列

式来计算，具体步骤如下:

10211021

2-110

Dq=

1203②+(-2)X①02-22

0321③+(-1)X①0321

按第一列展开，得

-1-3-2132

2=2-221-11

321=(-1)x2x321

132

②+(-1)X①-2x0-4-1

③+(-3)X①0-7-5

-4-1

=-2x=-26

-7-5

2141

3-121

d4=

5232

例8计算行列式7025（把

最简单的调到第一列或是第一旬）

［答疑编号10010304：针对该题提问］

214

3-12

a=523

702

QHix①

③+(-2)x①

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5312

-100312

砺而7375按第二行展开375=81

在本例中，记号①”②写在等号下面，表示

交换行列式的第一列和第二列，②+5x①写在等

号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第

二列。

3111

1311

1131

例9计算行列式：।一3（例子很特

殊）

［答疑编号10010305：针对该题提问］

解这个行列式有特殊的形状，其特点是它

的每一行元素之和为6,我们能够采用简易方法

求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第

一列的公因数6,再将后三行都减去第一行：

3111611111111111

1311631113110200

=6=6=48

1131613111310020

1113611311130002

(32)?

a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2

b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2

c2(c+1)2(c+2)a(c+3)2

例10计算行列式：d2(d+iy(d+2)20+3产

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a2-b2=（a+b）（a-b）

［答疑编号10010306：针对该题提问］

(a+Ta2(a+1)22a+36a+9

6+3产b2(b+1)32b+36b+9

ca(c+1)32c+36c+9

③+(T)X②

(d+犷@+(-1)X①1d2(d+1)22d+36d+9

a2(a+1)22a+33(2a+3)

b2(b+1)22b+33(2b+3)

c2(c+1)22c+33(2c+3)

d2(d+1)22d+33(2d+3)

例11计算n阶行列式

abo--o0

0b00

&=

000b

b00--0a

［答疑编号10010307：针对该题提问］

解将行列式按第一列展开，得

Dn=知4］+（）+•••+o+z>4i（简化的过程就是消阶,

次方也应减少，为（NU）等

ab…00b000

0a•••00a6…00

=a::::::::

00•••ab00b0

00---0a(»-i)+i(-l)"+100--ab

*-1+(-1方/-1=，+(-1)2

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例12计算范德蒙德（VanderMonde）行

111

匕=五x2x3

列式:

［答疑编号10010308：针对该题提问］（第一

行乘（・X1）加到第二行上；第二行乘（・X1）加

到第三行上）

11

盯一升弓F

-

弓（弓-%1）X3（X3^1）与（々一五）/（弓-々）

口2一西）（勺一占）

=n(xj-石)

KM隹3J

aa2as

bb2b!

2S

例13计算cCC

［答疑编号10010309：针对该题提问］

claa1a

bb2bJ1b

22

CC1cabc(b-a)(c-a)(c-b)(这是个定

律）

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xaaaa

axaaa

aaxaa

aaaxa

例14计算aaaax（解题规律:

每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列

都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这

个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”

的行列式，然后再化简）

［答疑编号10010310：针对该题提问］

xaaaax+4ax+4ox+4ax+4ax+4a

axaaaaXaaa

0X2)

aaxaxaa

aa0X3)J

aaaxaOH3)aaaxa

aaaaxdaaax

1111111111

axaaa0x-a000

©+(~a)①

=(x+4a)aaxa00x-a00

(3X(-a)①

aaaxa④+(-a)①000x-a0

aaaaX⑤+(-a)①0000x-a

=(x+4a)(x-a)4

1.4克拉默法则

由定理1.2.1和定理1.3.1合并有

2，i=k;

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^^«1/4,+«2/4,十.一+々即4=<0，j=k

（一）二元一次方程组（方程1、2左右同

乘以一个数，上下对减）

,%汽+%汽泡①

df21X1+a„x2=bz（2）

由a22*①-al2*②得

（白1/22一/2。21）再=以224一41282

由a”②唱21①得

311以12一%«21）々=，力2一%可

心再二“

则有1为叫A是常数项

・••当Dr0时，二元一

次方程组有唯一解

无_4x_4

】一方‘“一方

（二）三元一次方程组

X+aX+a=

°llli221!X3b1①

(3X+aX+aX=b

2112222SS2②

_<231x1+a32x2+a3x3j-bj③

ananai3

a21a22a23=D

令a31a32a33叫系数行列式

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aaaaa

瓦1213n瓦aBll12瓦

aaa

b?2223=A2ib?a#=2a21a22瓦=A

b3a32a33a31^3a33a31a32^3

・・

由D中的Au①+A21②+A31③得

（«1/1+以2141+。3141）/=4•&+-41+Hi

即/=4

由D中的A12①+A22②+A32③得

（«12412+«224a+。32/32）工2=4A2+占24?+^4?

即“XLD2

由D中的A13①+A23②+A33③得

（知4+%43+«334）弓=44+与$3+用$3

即0X=D3

・••当DRO时，三元一

次方程组有唯一解

X1一_万口\氏X-_万5-X-万

一般地，有下面结果

定理（克拉默法则）

在n个方程的n元

一次方程组

…+%xjh

aix+a„x+--+a,x=b

*2122az

."Xi+a7x?+…+/网泡

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（1）

中，若它的系数行

列式

41a»2…%#0

则n元一次方程组

有唯一解。

推论：在n个方程的n元一次

齐次方程组

auA+4Xz+…+%x『0

a+ax+-+<ai,x,=0

<21X12222）

."A+a立x?+…+%孔=0（2）

中

（1）若系数行列式Dr0,0方

程组只有零解

再=0,^2=0,••,,々=0

（2）若系数行列式D=O

。则方程组（2）除有零解外，

还有非零解（不证）

例在三元一次齐次方程组

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x^Xj+x^O

X1+2X2-3XS=0

2x.+3x+ax=0

14c2d

中，a为何值时只有零解，a为何值时有非

0解。

［答疑编号10010401：针对该题提问］

111

D=12-3

解：23a=2a-6+3-4-（-9）-a=a+2

・•・（1）a，2时,D#0,只有零解

（2）a=-2时，D=0,有非零解。

本章考核内容小结

（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式

的定义

知道余子式，代数余子式的定义

（二）知道行列式按一行（列）的展开公式

2=6141+《24?+…+以加4

2=+%出■,%&

（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或

将行列式化为三角形的方法计算行列式

重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素

之和相同的行列式的计算

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(四)知道克拉默法则的条件和结论

第二章矩阵

矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念

和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十

分有效的工具；矩阵在数学与其它自然科学、工

程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性

经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章

讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置

运算，矩阵的求逆，矩阵的初等变换，矩阵的秩

和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与

线性方程组的问题。

2.1矩阵的概念

定义2.1.1由mxn个数aij(i=l,2,

m；j=l,2,n)排成一个m行n列的数表

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