第09讲概率（10.1随机事件与概率+10.2事件的相互独立性+10.3频率与概率）（原卷版）

第09讲概率目录高频考点1：样本空间与样本点高频考点2：古典概型高频考点3：相互独立高频考点4：频率与概率高频考点5：互斥事件与对立事件高频考点6：概率统计综合问题高频考点1：样本空间与样本点1．（2021·湖北·高二期中）从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件包含的样本点个数为_______________个.2．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件所表示的实际意义．3．（2022·全国·高二课时练习）“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．(1)写出该试验的样本空间；(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．4．（2022·全国·高一课时练习）观察一个日光灯的寿命：（1）用适当的符号表示这个试验的样本空间，并写出其中含有的样本点个数；（2）用集合表示事件：寿命大于5000h，：寿命小于1000h.5．（2022·全国·高一课时练习）选择合适的表示方法，写出下列试验的样本空间：（1）种下一粒种子，观察是否发芽；（2）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果（可以是平局）.核心知识点如果事件空间是有限的，可以使用集合列举法，或树状图表示；如果事件空间是无限的，可以使用集合描述法表示.高频考点2：古典概型1．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）小赵同学准备了四个游戏，四个游戏中的不透明的盒子中均装有3个白球和2个红球（小球除颜色外都相同），游戏规则如下表所示：游戏1游戏2游戏3游戏4取球规则一次性取一个，取一次一次性取两个，取一次一次性取一个，不放回地取两次一次性取一个，有放回地取两次获胜规则取到红球→小赵胜取到白球→小赵败两个球不同色→小赵胜两个球同色→小赵败两个球不同色→小赵胜两个球同色→小赵败两个球不同色→小赵胜两个球同色→小赵败若你和小赵同学玩这四个游戏中的一个，你想获胜，则应该选（

）A．游戏1 B．游戏2 C．游戏3 D．游戏43．（2022·江西萍乡·三模（文））袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个.规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分.在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球.规定取出球的总积分多者获胜.(1)求甲、乙平局的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.4．（2022·河北·任丘市第一中学高一阶段练习）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率.(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润.(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率.5．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．6．（2022·全国·高三专题练习）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．7．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））某校组织“生物多样性”知识竞赛，某班准备在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的比赛在班级的预赛中，甲、乙两名同学各回答道题，每道题得分为的任意整数，得分情况的茎叶图如图所示.(1)分别求出甲、乙两名同学答题得分的平均值和方差，并决策安排哪一位同学参加学校的比赛；(2)若规定分数不低于分为合格，从甲同学合格的所有成绩中，任意抽取两个成绩，求至少有一个成绩不低于分的概率.核心知识点1古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．2古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．3下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．古典概型的概率计算公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．高频考点3：相互独立1．（2022·山西·高一阶段练习）对于一个古典概型的样本空间和事件其中，，，，，，，，则（

）A．与不互斥 B．与互斥但不对立C．与互斥 D．与相互独立2．（2021·湖北·沙市中学高二期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立3．（2021·湖北·高二阶段练习）现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立4．（2021·全国·高三专题练习（理））有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立核心知识点相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，高频考点4：频率与概率1．（2022·全国·高一专题练习）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数45253818以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则=（

）A．100 B．300 C．400 D．6002．（多选）（2022·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（

）A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%3．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）下列结论中错误的是__________．（填序号）①如果，那么为必然事件；②频率是客观存在的，与试验次数无关；③概率是随机的，在试验前不能确定；④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件．4．（2022·全国·高二课时练习）在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：最高水位范围（米）<10[14，16）≥16频率0.10.280.380．160.08若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是__________.5．（2022·全国·高一专题练习）某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率.高频考点5：互斥与对立1．（2022·广西·南宁三中二模（文））从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·甘肃·兰州市第三十三中学高二期末（文））从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．（2022·全国·高一课时练习）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，都是白球D．至多有一个红球，都是红球5．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）给出如下几个命题：①若是随机事件，则；②若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件；③若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件；④事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大．其中正确的是___________．（填序号）6．（2022·全国·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.高频考点6：概率统计综合问题1．（2022·辽宁·沈阳二十中高三期末）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一单元测试）已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为A． B． C． D．3．（2022·全国·高一单元测试）一个电路如图所示，为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A． B． C． D．4．（2022·安徽省舒城中学高二期中）分别掷3枚质地均匀的硬币，设事件为“第1枚为正