第3讲 数学归纳法及其应用

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数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明“2＞2＋1对于≥的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值应()A.2B.3C.5D.6解析∵＝1时，

122×1＋322＋1不成立；＝2时，2＝3时，2

2＝42＋152＞＋1成立；3＝82＋172＞＋1.∴的第一个取值n＝3.答案B2.某个命题与正整数有关当＝∈N*)时该命题成立可以推出＝＋1该命题也成立.现已知＝5时该命题成立，那()＝4该命题成立B.

＝4时该命题不成立C.≥5，∈N*时该命题都成立可能取某个大于5整数时该命题不成立解析

显然，B误，由数学归纳法原理知C正确，D.答案C111n3.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>≥2，∈N*”的过232－12程中，由“＝”变到“＝＋1”时，左边增加了)A.1项B.

kC.2－项项

解析

111左边增加的项为＋＋…＋共2k，故选D.2k2＋121－1答案D4.对于不等式

2＋<＋1(∈N*，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)＝1时，

1

2＋1<1，不等式成立.(2)设当n(

∈N

)，不等式

2＋k＋1成立，当nk1时，（＋12＋＋＝（＋22＝＋1)＋1.

2＋3＋2<

（2＋3＋2）＋（＋＝∴当＝＋1时，不等式成立，则上述证法()过程全部正确B.＝1验得不正确C.归纳假设不正确从＝k到＝＋1推理不正确解析

在＝＋时，没有应用＝k的假设，不是数学归纳法.答案D4＋25.用数学归纳法证明123…＋2＝，则当＝＋1时左端应在n2＝k基础上加上()2＋1B.(＋1)

2C.

（＋14＋（＋1222＋1)＋2＋2)＋…＋(＋1)

2

＋n1＋1＋n1112341234＋n1＋1＋n1112341234解析

当＝k，左端＝123…＋2.当＝＋1，左端＝123…＋2＋2＋1)＋2＋2)＋…＋(

＋1)

2，故当＝＋1时＝k基础上加2＋1)＋(

2＋2)＋…＋＋1)

2.故选D.答案D二、填空题11116.设＝1＋＋＋…＋，则－S＝________.2342n1111解析∵S＝1＋…＋＋＋…＋，222＋12＋21111S＝1＋＋＋＋…＋.2342n∴－S＝

1111＋＋＋…＋.2＋12＋22＋32＋2n1111答案＋＋＋…＋2＋12＋22＋32＋2n7.数a}中，已知＝2a＝

a3a＋1

(∈N

*，依次计算出，a，a，猜想＝________.2

2解析a＝2a＝

2272132＝a＝＝a＝＝.由此，3×2＋72132193＋13＋1713猜想是以分子为2分母是以首项为1，公差为6的等差数列.∴a＝

2.6－5

12341111122221234111112222答案

26－58.凸n多边形有()条对角线则凸＋1)边形的对角线的条数＋1)与)的递推关系式为________.解析＋1)＝＋－2)＋1＋－1.答案＋1)＝＋－1三、解答题11119.用数学归纳法证明：1＋＋…＋<2∈N，≥2).2322n1513证明(1)＝2时1＝<2－＝，命题成立.24221111设＝k命题成立，即＋＋…＋<2－.2322k1111111当＝＋1时，1＋＋…＋＋<2－＋<2－＋23（＋1）k（＋12k1（＋1

1111＝2＋－＝2，命题成立.kk＋1＋1由(知不等式在∈N*，≥2时均成立.10.列a}满足＝2－a∈N*).(1)算，a，，a，并由此猜想通项公式a；(2)明(中的猜想.(1)

当＝1时，＝S＝2－，a＝1；3当＝2时，a＋a＝S＝2×2－，∴a＝；2

12333312344441k＋1＋112333312344441k＋1＋1＋1kk1＋1k＋1k7当＝3时，a＋a＋a＝S＝2×3－，∴a＝；4当＝4时，a＋a＋a＋a＝S＝2×4－，∴＝

15.82－由此猜想a＝∈N*).2－1(2)明①当＝1，a＝1结论成立.②假设＝≥1且∈N*时，结论成立，即a＝

2－121

，那么＝＋1，a＝S－S＝2(

＋1)－a－2＋a＝a－a，∴2a＝2a.∴＝

2a2

＝

2

2－121＝2

21－1.2k所以当＝＋1，结论成立.由①②知猜想a＝

2－1∈N*成立.2－1111311.明诊断设n为正整数＝1＋＋…＋算得(2)，23n257(4)2＞＞3＞结果一般结论()22(2

＞

2＋12

B.

＋22)≥2

C.

＋2(2)≥2

以上都不对解析

因为(2

45672)(23)＞(24)(25)，所以当≥1时，有2222＋2(2)≥.2答案C12.是定义在正整数集上的函数，且(满足：“当≥2成立时，总可推出＋1)

＋1)

2

成立”.那么，下列命题总成立的()若(1)<1立，则(10)<100立B.若(2)<4成立，则(1)≥1成立C.若(3)成立，则当≥1时，均有)≥2

成立若(4)≥16成立，则当≥4时，均有)≥

成立解析

选项，B答案与题设中不等号方向不同，故，B；选项C中，应该是≥3时，均有(题成立.答案D

)成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命13.平面上n圆周最多把平面分成(片(面区域(2)________＝________.(≥1N)解析易知2个圆周最多把平面分成4片n圆周最多把平面分成片，再放入第＋1圆周使得到尽可能多的平面区域＋1个应与前面个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第＋1个圆周分成段，每段都把已知的某一片划分成，即(＋1)＝＋2≥1)，所以－

＋1n＋1nn21121＋1n＋1nn211211＋1n1k＋1k(1)－1)，而2从而＝2－＋2.答案4

2－＋214.列x满足x＝0，＝－x＋(∈N*).(1)明：x是递减数列的充要条件是＜0；1(2)0＜≤，证明数列{x是递增数列.4证明(1)充分性：若＜0由于x＝－2＋x＋≤x＋＜x，∴数列x}是递减数列.必要性：若x是递减数列，则＜x，且x＝0.又x＝－2＋x＋＝，∴＜0.故x是递减数列的充要条件是＜0.1(2)0＜≤，要证{x}递增数列.4即x－x＝－＋＞0即证x＜

对任意≥1成.下面用数学归纳法证明：1当0＜≤时，x＜4

对任意≥1成立