结构力学之结构的位移法及习题课讲义

第十一章位移法§11-1位移法的基本概念§11-2等截面杆件的刚度方程§11-3无侧移刚架的计算§11-4有侧移刚架的计算§11-5位移法的基本体系§11-6对称结构的计算§11-7支座位移和温度改变时的计算§11-0简介1位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。矩阵位移法——随计算机的发展而形成的；位移法渐近法——力矩分配法、无剪力分配法；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法——反弯点法(多层多跨刚架受水平荷载作用时)；D值法(广义反弯点法)。2§11-1位移法的基本概念一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。3位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位移(角位移和线位移)。位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。4基本未知量的确定：基本未知量数目n=结点角位移数+独立的结点线位移数结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定)独立的结点线位移数的确定方法：将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数就是独立的线位移数。图11-1FEDCBAFEDCBAn=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=35图11-2EDCBA(a)(b)确定线位移图EDCBAn=3(C、D、E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5图11-3(a)FEDCBAG(b)确定线位移图FEDCBAGn=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=36习题11-1用位移法计算下列各结构时的基本未知量个数。(a)EIEA(1)当EI、EA为无穷大时，(3)(2)当EI、EA为有限值时，(6)习题11-1图(b)(1)当0时，(10)(2)当=0时，(10)(c)(1)当不考虑轴向变形时，(4)(2)当考虑轴向变形时，(9)(d)(1)当0时，(3)(2)当=0时，(2)7三、解题途径以图11-4a所示结构为例，介绍位移法的解题途径。图11-4(a)qABCPAA1、确定基本未知量(2个)

A、A=

2、设法求出A、

方法：把结构拆成杆件(b)qAMABAB(1)AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位移A、，并承受已知荷载q的作用。(c)PACMACA(2)AC杆的计算条件是：C端简支，A端有已知位移A，并承受已知荷载P的作用。AMACMAB(d)ABQABQABMABMBAqP(e)QBA8注意：此处所说的已知位移仅仅是指，根据结构与荷载知道结构的结点将产生此种位移，并非知道其大小。(3)杆件分析：就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算问题。得到的是杆件的刚度方程。3、整体分析(将杆件搭接成结构)杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的。作为变形协调条件。再利用结点A及结构上某杆的平衡条件，即可得到位移法的基本方程。基本方程是用结点位移表示的平衡方程。解平衡方程，即可获得结点位移A、

。4、位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。95、计算各杆的杆端弯矩将A和代入杆件的杆端弯矩表达式，即可求出各杆端弯矩。6、作弯矩图：根据杆端弯矩和杆件所受荷载作M图。再按第三章的方法作剪力图和轴力图。以上是位移法求解超静定结构的基本过程。从介绍的过程中，大家应该清楚：(1)位移法主要是计算出结构的结点位移，其余是杆件计算。(2)位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。最后提出：杆件的计算作为预备知识在下一小节介绍。10§11-2等截面杆件的刚度方程位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算。用到的数据是：形常数和载常数。(1)已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；(2)已知荷载作用时求固端弯矩——载常数。一、由杆端位移求杆端弯矩(获得刚度方程)(1)基本情况图11-5所示为一等接截面杆件AB，截面惯性矩I为常数。已知端点A和B的角位移分别为A和B，两端垂直杆轴的相对位移为，拟求杆端弯矩MAB和MBA。11(2)杆端位移与杆端弯矩的符号规定

AB杆：杆端位移A、B、弦转角(=/l)、杆端弯矩MAB和MBA一律以顺时针为正。特别注意：第一点，式=/l

中的是A、B两点的相对竖向位移。在结构中的杆件有两端都出现竖向位移的情况(多层多跨刚架中中间层柱的侧移，就是这种情况)，这时一定要注意取的是两端的相对侧移。第二点，此时的弯矩符号规定，只是针对杆端弯矩而言，而不是针对杆间的任一截面的弯矩。图11-5MABEIAQABBQBAMBAlBA12当取杆件为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以顺时针为正；当取结点为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以逆时针为正。但是，当作弯矩图时，杆端弯矩为杆件的内力，遵循通常的符号规则，弯矩图画在受拉侧。(3)刚度方程的推导①图11-6所示简支梁图11-6(a)MABAEIlABBMBA已知：两端力偶MAB、MBA，求杆端转角A、B。利用第八章计算位移的方法——单位荷载法求解。MPMABMBAM1P=1113APMM1图进行图乘可求得图与q-=-=-BAABBAABBAABAMiMiEIlMEIlMlMlMEI613163)31213221(1=q=lEIi称为线刚度。式中，+-BAABBBMiMi3161=，同理，可求qq(11-2)+--BAABBBAABAMiMiMiMi31616131==即：qq②考虑杆件两端的竖向相对位移时，求A、B。图11-6(b)AEIBlBAlBAD===jqq(11-3)14③综合考虑两种情况就可得到下式：(11-4)D++-D+-lMiMilMiMiBAABBBAABA31616131＝＝qq解(11-4)式，可得式(11-5)，即：转角位移方程(11-5)liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq④杆端剪力QAB、QBA+-==)(1MMlQQBAABBAAB由平衡条件可得杆端剪力：即：(11-6)D+--==21266lililiQQBABAABqq15⑤刚度方程两式是杆端力与杆端位移之间的关系，用矩阵形式表示，即称为弯曲杆件的刚度方程。(11-7)D----=BAABBAABlilililiiiliiiQMMqq21266642624----lilililiiiliii21266642624左边的矩阵称为弯曲杆件的刚度矩阵。其中的元素称为刚度系数。刚度系数只与杆件的截面尺寸和材料的性质有关，称为“形常数”。16(4)讨论杆件在一端具有不同支座时的刚度方程①B端为固定端(图11-7a)图11-7(a)EIBAlMBAMBAAA此时，B=0代入(11-5)式(11-8)可得：liiMliiMABAAABD-=D-=6264qq②B端为铰支座(图11-7b)(b)lAMBAAAEIB此时，MBA=0代入(11-4)式中的第一式，可得：(11-9)liiMAABD-=33q③B端为滑动支座(图11-7c)lMBAEIBMBABAA(c)17此时，B=0、QBA=QBA=0，代入(11-6)式Alq21=D可得：将此式代入(11-5)式，则有：(11-10)ABAAABiMiMqq-==由以上的分析过程可知：利用(11-5)~(11-10)式，可在杆端位移A、B、

已知的情况下求出杆端弯矩。当杆端位移A、B、分别为单位位移时，各杆端力即为杆件弯曲时的刚度系数。例如两端固定时有A=1MABMBAliQQBAAB6-==iMMBAAB24i==18二、由荷载求固端弯矩此时，仅考虑外荷载作用，可以用力法求出各种单跨超静定梁在不同荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，把它们称为“固端弯矩”和“固端剪力”。固端弯矩和固端剪力因只与荷载形式有关，称为载常数。用“mAB、mBA、QAB、QBA表示固端弯矩和固端剪力。为便于计算，将有关结果列于表11-1，供解题时使用。等截面两端固定梁同时有荷载和杆端位移时，可用“叠加原理”得出各杆端弯矩和剪力的表达式(11-12)和(11-13)。式(11-12)BABABAABBAABmliiiMmliiiM+D-+=+D-+=642624qqqq19BABABAABBAABQlililiQQlililiQ+D+--=+D+--=2212661266qqqq式(11-13)表11-1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB++=2qlQBA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba206一端固定另一端铰支5两端固支74固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=续表11-1PABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl21101198一端固定另一端铰支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号322)3(lalPaQBA--=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB--=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-==ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=续表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22215141312一端固定另一端滑动支承固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号0=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-==BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2--=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ续表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t=t1-t223§1驼1-3无侧时移刚幕架的姿计算位移法功求解超秀静定结撞构时，疲根据位枪移法的愈基本原溉理，有修两种建负立位移雁法基本掏方程的腾方法。芒即：1、直炎接杆帜端弯斩矩法发；2、基别本体眼系法(附加如约束朗法)。无侧移仅刚架：若幼刚架止的各庄结点(不包壁括支沫座)只有下角位甘移而腹没有钟线位瞎移，兽这种机刚架疯称为鞋无侧都移刚锈架。连续梁碑的计算完属于无骄侧移刚假架问题堆。一、寒连续坝梁的街位移就法计槐算24通过连原续梁的经位移法歼计算，卷说明位俱移法的迎解题过蜡程。图11-8a所示高的两毒跨连毁续梁仇，求念作弯知矩图(M图)。图11-8(a)ABC20kN2kN/m3m3m6m1、确价定基遍本未帽知量在荷庭载作眉用下艰，只盾有一仁个基嗽本未仅知量债，即辅：B2、计算把各杆虑的固我端弯所矩AB梁是两颗端固定脑梁，在平跨中有瓜集中荷烫载作用粒，且在B端有秤转角B。BC梁是B端固定购、C端简基支的患梁，议梁上育有均很布荷误载作昏用，单且在B端有转奥角B。)4111(1586208序号－查表mkNPlmmBAAB-==-=-=-25)6111(9862822序号－查表mkNqlmBC-=-=-=3、写出菌各杆端丸弯矩的愁表达式(令各杆宅的线刚缓度均为i)1522-=+=BABBABimiMqq1544+=+=BBABBAimiMqq933-=+=BBCBBCimiMqq4、建立冲位移法醋基本方止程(取结点B为隔离狐体如图11-8b)MBAMBCB(b)图11-80=+BCBAMM0=BM067=+Biq即，位移法基本方程为：5、求基眯本未知捏量B(解基本旅方程)iB76-=q266、计丝式算各消杆端忌弯矩(将B代入侮杆端战弯矩兼的表陶达式)mkNiiimiMBABBAB-=--=-=+=)(72.1615)76(21522qqmkNiiimiMBBABBA=+-=+=+=)(57.1115)76(41544qqm)kNiiimiMBBCBBC-=--=-=+=(57.119)76(3933qq7、作抗弯矩奔图根据各驱杆端弯身矩的值收，利用洽叠加原归理作M图如川图11-8c。图11-8(c)11.5716.7215.853.21M图(kNm)309需注蓄意：此时若慰杆端弯煌矩为负问值，表示弯射矩为逆梦时针方禽向。278、讨论若在B点作腰用有即集中依力偶嗓，位固移法叹的基愈本方丧程如碎何建端立。(a)20kN20kN·m2kN/mABC3m3m6m图11-9此时，桃对作用壳在B点的集锻中力偶怜，求固欧端弯矩碧时不考丈虑。在考建立位饺移法的米基本方移程时考妈虑。取B结点为悦隔离体颈如右图(b)所示。20kN·mB(b)MBAMBC基本霉方程室为：MAB+MBC-20=骨0有：7iB-14=候0B=2/i杆端弯墨矩表达伪式不变打，弯矩旧图如右(c)图所皇示。30112339137.5(c)M图(kNm)28例11-1求作图11-9a所示汪刚架局的弯疗矩图沸。(a)q=20kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m图11-10解：(1被)基本未希知量有魔两个：B，C。(2丘)求杆炸端弯垦矩固端弯杠矩可以赛查表mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度雾取相来对值训，设EI0=1，则有2921630==EIiCF43430==EIiBE1440==EIiCD1550==EIiBC1440==EIiBA由式(11-5)，(1驴1-8)，(1袖1-9)，再腰叠加惨固端堡弯矩技，可侧列出剥各杆崇杆端凡弯矩增如下套：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33BBBEBEiMqq==34，BBBEEBiMqq==5.12CCCFCFiMqq==24，BCCFFCiMqq==230(3灾)位移法那方程结点B平衡，MB=0(图11-10b)BMBAMBCMBE(b)图11-10MBA+MBC+MBE=0将上瓦步结扶果代匙入得10B+2C-1.7女=0壮①结点C平衡望，MC=0话(图11-10c)CMCBMCDMCF(c)MCB+MCD+MCF=0将上微步结派果代礼入得2B+9C+41.7哥=0券②(4)求基丛本未烂知量解①、②两方双程，反得B=1.仰15，C=-咏4.画8931(5郊)求杆端捆弯矩将求循得的良位移筹代入腥第2步各式烛可得mkNMBA=5.43mkNMBC-=9.46mkNMCB=5.24mkNMCD-=7.14mkNMBE=4.3mkNMEB=73.1mkNMCF-=78.9mkNMCF-=89.4(6)作弯配矩图慨如图11-10d所示。3.4ABCDEFM图(单位kN·m)1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)图11-10注意它：在本题耳中各杆委用的是队相对刚瓶度，求曾出的位存移并不纯是真值槐。如果朝要求位低移的真凭值，刚胜度也必斗须采用址真值。32如果沈在本报题中镇，令i=EI0/4，则有：iBA=iBC=iCD=4i，iBE=3i，iCF=2i。此时痒得到昌的位桥移为极：B=0.2肺82/i，C=-1.进20夹2/i。它们都是真值面，当EI0值已知时唉，可直辩接求出B、C。例11-2如图所境示的刚座架，求悄作弯矩造图。EI=常数8mABCDEFP=20kNq=10kN/m6m8m1(a)图11-1133对于此获题，值舟得注意柄的是：EF杆F端的我荷载拒对E的作用鸭相当于碰一个结或点力偶揉矩。由结圣点E平衡迟，即ME=0，有：MED+MEC-20=0基本未剂知量为E，令i=EI/8，基本求方程府为：7iE+60=0计算表结果安为：E=-60/姓(7i)=-8.动57荒/i。ABCDEF54.292034.2917.1480M图(单位kN·m)(b)图11-1134§1诵1-4有侧悦移刚细架的适计算有侧杜移刚文架：刚架怀除有结宝点转角赠位移外漂，还有导结点线桨位移(独立蛾的结发点线照位移)。注意：计算蜘中忽叮略轴刘力对表变形洋的影蓄响。示这样腥可以奸减少裂结点科线位驾移的终个数疾，使治计算笨得到召简化(见图11-12晌)。(a)CPDDDCCAB图11-12(b)PDABEFC(c)CAPBDPEF221135由于屈忽略赌了杆拖件的挎轴向危变形吃，图11-12中的基每个蒸图的滚同层肺横梁纲上结泪点的冤水平顷侧移链相等(即独立活的结点感线位移和只有一锦个)，可茎以用须一个暑线位挡移符世号表示。下面郑用例冻题说洋明位域移法蹄解有斗侧移计刚架壶的基他本步遇骤与熊过程饮。例11-3图11-13a所示已的刚角架，该柱的移线刚某度为i，梁的坊线刚见度为2i，均布荷弹载集度q=3kN/m，试作结谜构的弯研矩图。(a)i2iiBACD8m4mq图11-13解：1、基唇本未雕知量刚结点B的转角B和柱顶泻的水平阿位移(图11-13b)。(b)BACDB362、杆端词弯矩表屯达式利用属前述未的相碍应公稠式并夺叠加叙固端霜弯矩合，可佛得各祝杆端股弯矩-D-=-D-=iiiiMBBAB45.12431214622qq+D-=+D-=iiiiMBBBA45q==iiMBBBC6)2(3qqD-=D-=iiMDC75.043(a)3、建莫立位渠移法刺基本愚方程首先诉，与线结点B角位移B对应慰，取疾结点B为隔离绸体(图11-13c)，列力矩耽平衡方抗程：(c)MBCMBAB图11-133700，=+=MMMBCBAB(b)①045.110=+D-iiBq利用(a)式可得：然后绍，与诸横梁峡水平欧位移对应隐，取垒横梁BC为隔离坊体(图11-13d)，列出湖水平四投影吐方程于：(d)BCQBAQCD图11-13X0，CDBAQQ0=+=(c)这里境关键脾是求精出两错竖柱锡顶端有的剪岩力QBA和QCD(图11-13e、f)。(e)q4mQABQBAMBAMABABAM0，BAABBAMMQ6)(41-+-==(f)4mMDCQDCQCDCDDM0，DCCDMQ41-==将以堂上两寇式代秩入(c)可得瓶：38024=+++MMMDCBAAB(d)②02475.36=+D-iiBq再利用(a)式可得：4、求魔基本鱼未知捞量B和联立求判解①、僵②两式施，即得B和。iB1737.0=qi158.7=D5、计算扎各杆端膜弯矩将基理本未牵知量B和代入旦各杆壮端弯屑矩的顶表达倚式，况即有梦：mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(439mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.06、作M图(图11-13g)13.624.425.694.426M图(单位kN·m)BACD(g)图11-13一般说族来，位移溉法的粱基本缝方程紫是静络力平路衡方挽程。注意颗和力法雪基本方殊程对比秃。基本未界知量中堪每一个输转角有只一个相司应的结叶点力矩披平衡方案程，每瞧一个独谎立结点冠线位移贷有一个模相应的常截面平冷衡方程金。平衡咳方程的居个数与内基本未园知时的烤个数彼写此相等钞，正好杨解出全杆部基本逃未知量殃。40例11-4求作脊图11-16搅(a)所示诞刚架泄的弯窝矩图盾，忽彼略横扫梁的驴轴向北变形弓。(a)ABCDEFI1I2I3h1h2h3P图11-16解：(1)基本未授知量柱AB、CD、EF是平叶行的策，因爪而变盛形时腔横梁雪只有墨移动碧，横带梁在疤变形乞后保戏持平振行(图11-16b)，所以各奥柱顶的或水平位怜移是相度等的，筹只有一艘个独立错线位移。(b)ABCDEFP(2抄)各柱的货杆端弯保矩和剪俱力41各柱的线刚度为333hEIi=222hEIi=111hEIi=利用前模述的相昆应公式葬，可得去各杆端夕弯矩333hiMFED-=223hiMDCD-=113hiMBAD-=由每柱宵平衡求孙得杆端界剪力2333hiQEFD=2223hiQCDD=2113hiQABD=(3)位移害法方截程取柱业顶以芬上横捉梁部挠分为荡隔离纽奉体(图11-16c)，由水平净方向的辅平衡条寺件X=0，得42(c)ABCDEFQABQCDQEFP图11-16=++-0)(QQQPEFCDAB=++D-2332222110)(3hihihiP=++=D22332222113)(3hiPhihihiP求得2hi2hi式中为各立柱之和。(4)柱端弯寺矩和剪旷力(将代入庆第2步各犹式可势得)-=233hihiPMFE-=222hihiPMDC-=211hihiPMBA43=2233hihiPQEF=2222hihiPQCD=2211hihiPQAB(5)根据杆硬端弯矩帅可画出M图如亿图11-16d所示蓄。图11-16(d)ABCDEF233hihPi222hihPi211hihPiM图(6共)讨论计算结旱果表明菜，各柱外柱端剪悼力Q与i/h2成正插比。忧我们蝇可以卷给上旦述结孟果以新的录解释：荷令载P作为各柱总古剪力费，按各管柱的i/h2比例仍分配蒙给各惯柱，膛根据妈剪力蜓，即遥可画耐出弯狼矩图处。44例11-5如图11-14所示斑的刚布架，哭求作倾弯矩快图。图11-14(a)4mABCDP=28kN2m2m2mi2i2iq=28kN/m在本松题中宜，基芳本未因知量呆是刚毅结点B的转角B和结点B(C)的侧军向位摘移(B、C)。由结点B列力矩娱平衡方填程：MB=008428)(32=-+Biq84284)2(6)2(4+D-Biiq即：化简可疏得：11iB-3i-42=0①45由斜梁BC的水阿平分旅力列架水平凳投影糟方程恩：泰X=0。即有06)2(32284)2(124)2(622=D+-D+-iiiBq化简尘可得：-3iB+5i/3-14=0毛②联立求泄解方程①、摇②可得：B=12/i=30/i(b)ABCD562030285610M图(kN·m)图11-14本题惑应注意两点惩：(1漆)因为阀结点B、C都只滩能发赴生水廉平位钩移，宜并且位移辆前后BC杆的侨长度昨不变住，所怀以应绝该有=B=C，即只有一铅个独立索的线位逼移；(2)斜杆BC的固端梁弯矩mBC与同怀跨度(荷载分险布长度)的水恼平杆浪的固旬端弯它矩相爬同。46例11-6作图11-15(a)所示结妹构的该弯矩炊图。lABCDP=3qlqii1iliiEllF(a)图11-15此题缺中，档基本舒未知访量个挑数为2，即刚饭结点B的转洋角B和C(F)点的侧励移(C、F)。由结点B列力雨矩平授衡方庆程：MB=0064832=D+++liiqliBBqq即：化简可礼得：7iB+6i/l+ql2/8=0旧①由横拨梁CF的水扒平分钳力列易水平装投影禁方程(以向算左为搭正)：03312126222=-D+D+D+qllilililiBqX=0，47可得：6iB+27i/l-3ql2=0洗②联解两材方程可仇得：B=-19ql2/(旁13段6i)=29ql3/(2阀04i)ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M图(ql2)(b)图11-15本题并应注意以下几优点：(1)因CF杆的线欲刚度为稻无穷大粪，所以C点无抵转动顺，只叹有侧沙移，霉基本套未知狭量为2。(2)弯矩MCF的值艇由C点的虫力矩火平衡郊求出疮。(3)取CF杆为隔驴离体时据，必须加切断所婚有的杆策件，并民注意列腹方程时棚不要忘威记作用食在C点的钟水平途集中毁荷载P。(4滚)查表美计算怠固端乡丰弯矩m时，锡注意躺所求柜结构嫩的杆吓件与所姻查表辽中杆螺件的石支承掉情况款，注便意固舟端弯符矩的秋正负策号。48例11-7求作图11-17(a)所示润刚架迅的内更力图阵。(a)q=20kN/mABCEFD4I04I05I03I03I04m6m4m4m5m图11-17解：(1钞)基本淹未知周量本例与昂例11-1不同米处是刘除转拴角B和C外横梁乓还有水般平位移。(2)杆端冬弯矩固端葡弯矩厉查表11-1求得mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度师取相税对值资，设EI0=1，则有491440==EIiBA1550==EIiBC1440==EIiCD43430==EIiBE21630==EIiCF由式(1泛1-5)，(1也1-8)，(1忆1-9)，再叠黑加固端齿弯矩，泰可列出钩各杆杆迁端弯矩甩如下：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33D-=D-=125.1364BBEBEBBEBEliiMqqD-=D-=125.15.162BBEBEBBEEBliiMqq50D-=D-=5.0264CCFCFCCFCFliiMqqD-=D-=5.062CCFCFCCFFCliiMqq(3苦)位移隆法方源程考虑结消点B平衡(图11-17b)BMBAMBCMBE(b)图11-17MB=0，MBA+MBC+MBE=0得10B+2C-1.1梯25D-1.7晨=0户①考虑结厌点C平衡(图11-17c)CMCBMCDMCF(c)MC=0，MCB+MCD+MCF=0得2B+9C-0.寇5D+41.7位=0捞②51以截面想切断柱歉顶，考少虑横梁AB铅CD的平衡(图11-17d)图11-17(d)q=20kN/mABCDQBEQCFX=0峰，QBE+QCF=0再考虑塘柱BE和CF的平衡(图11-17e和f)(e)BEQBEQEBMEBMBE40，EBBEBEEMMQM+-==CFQCFQFCMFCMCF(f)60，FCCFCFFMMQM+-==故截面无平衡灿方程合可写触为064=+++FCCFEBBEMMMM037.4375.6=D-+CBqq得③(4)求基本镰未知量52联立解①、辜②、③闲三个方程，清得B=0繁.9数4，C=-4.9确4，=-1.9房诚4(5裁)求杆端暂弯矩将求得悟的位移杜代入第2步各式丛，得MBA=3勺0探.9砍4+职40税=4耗2.惧82kNmMBC=4玩0.9宪4+2飞(-4.9脸4)-41咽.7夜=-47.撇82kNmMCB=2魄0.9周4+4姓(-4.9钱4)+协41.短7=2境3.8补2kNmMCD=-34涌.94熄=-14.脱8kNmMBE=3检0白.9肢4+疫1.辉12积5珍1.挨94蚊=5分.0kNmMEB=1.恒50灭.94桑+1.折125对1.横94=狂3.5钱9kNmMCF=2翁(-4.9艺4)+俩0.5斗1.浮94=-8.个91kNmMFC=-4.坚94靠+0钥.5浊1坝.9灶4=-3.究97kNm53(6改)作内力简图由杆端缸弯矩作熄出M图(图11-17g)。图11-17(g)ABCEFD18.647.842.853.593.9726.723.814.88.91M图(kN·m)由每杆吵的隔离咬体图，窝用平衡斗方程可须求出杆捷端剪力规，然后绍作出Q图(图11-17h)。(h)ABCEFD45.229.350.73.72.1554.8Q图(kN)由结犬点的乘平衡撇方程胃可求佳出杆恋端轴栽力，搂然后膏作出N图(图11-17i)。(i)ABCEFD48.9105.52.15N图(kN)(7等)校核在力耽法中喉曾经约详细野讨论境过超峰静定层结构赢计算洗的校锅核问踏题，幸其中以许多悲作法台这里租仍然孔适用讯。54但是永要注陵意一预点：在位移赛法中，若一般以演校核平刻衡条件故为主；揭与此相掀反，在使力法中蜂，一般柜以校核督变形连日续条件和为主。这是趴因为吃在选篮取位撑移法淡的基常本未秧知量坡时已怖经考歼虑了疲变形纯连续丽条件猎，而稠且刚庸度系堵数的日计算盏比较慨简单百，不叮易出膊错，绣因而战变形妥连续共条件燥在位丢移法群中不好作为习校核嫩的重弟点。图11-17中的茂内力毫图可要进行环平衡规条件晚校核瘦如下木：C23.814.88.9(k)B42.847.85.0(j)图11-17首先旺由图11-17j、k看出，剃结点B和C处的谦力矩心平衡邮条件荷是满仁足的疑。其次葡，在偿图11-17l中取故柱顶裹以上卫梁ABC源D部分为警隔离体洞，可校罗核水平咱和竖向羽平衡条闻件：55图11-17(l)q=20kN/mABCD2.152.1529.3105.548.93.70015.215.20=-=X07.39209.485.1053.290=--++=Y56§11-5位移法度的基本饺体系前面雪提出喂的是椒“直岁接杆乘端弯逃矩法拼”求刊解超列静定岂结构居。下德面介咏绍利桌用“何位移嗽法的线基本咏体系欢”求名解超索静定翠结构佳方法忆。力法中猜曾经提保出“力铺法基本魄体系”济的概念肃，我们棉知道力法基绞本体系口必须是计静定结穷构。在蹦此通拼过提芝出“科位移存法的错基本嘉体系隶”给毙出位第移法邪的另育一种腔形式唱。但骡是，闸需要鲜注意父此时染的基本怀体系模是一腾个比名原结纳构超疲静定斯次数丹更高镰的超包静定漫结构。位移环法的皱基本晌未知纺量是竖位移窑：用笋广义机符号嘉“”表东示。一、基毛本体系图11-18a所示声刚架累，已刚知：q=3kN/m，l=8m，h=4m。有两取个基嘴本未呜知量和，结劝点B的转角1和结点C的水平样位移2。57图11-18(a)CABDii2ilhq原结构(b)CABDq112基本体系采用基本体系如图11-18b所示。即：在B点附加“刚臂约，该附加刚臂只控制转动，不控制线位移。在结点C附加水平支杆控制结点C的水平位移。束”基本怀体系凶与原慈结构旱的区别：通过依增加人附为约束政，把基踢本未知牢量由被竟动位移筑变成受暑人工控搏制的主妄动位移包。基本体幼系的作销用：基本体限系是用尚来计算腥原结构垮的工具酿或桥梁瞒。它包立括两个忆特点：581、基杠本体琴系可浩以转凝化为纲原结箩构，贱可以旬代表忙原结素构；2、基本宫体系的宵计算比的较简单彩。附加约抓束的目的就是将尽结构拆蝴成杆件披，使结能构的整琴体计算习问题，祥变成单祸个杆件警的计算列问题，组计算被塔简化。二、锻利用疏基本湾体系箭建立朴位移虚法的挎基本律方程分析：板在什么蜘条件下澡，基本比体系才势能转化驰为原结钻构。转化条亲件位移跃法基显本方版程1、控制学附加约母束，锁住结坦点位移(1、2为零)。在荷倘载作用墓下，求抬得基本衬体系在欲此状态识下的内羡力；同扒时可知天，在附肿加约束课上有约削束力矩F1P(顺时针赤为正)和水平盯约束力F2P(向右为寨正)；而在闭原结构历上F1P和F2P是不份存在荐的。592、再控从制附加多约束，糠使基本哑体系产日生结点怀位移1和2。此时符，附加贡约束中压的约束蜡力F1和F2将随之息改变；教若控制1和2使与原坏结构的忽实际值搁正好相考等，则莫约束力F1和F2即完全桨消失，眠附加约义束失去免作用，浪与原结剖构完全榆相同。通过退以上兼两步炊的过扯程，娱可知苏基本亿体系提转化晴为原化结构悄的条才件是鹿：基乘本体岁系在垄给定贵荷载侄以及议结点饥位移1和2共同斥作用仓下，关在附推加约本束中妥产生子的总进约束弊力F1和F2应等傍于零发。即：吵转化惧条件(位移法氏的基本峰方程)为：F1=0F2=0(11-14)3、F1和F2的计孟算利用萝“叠甚加原托理”侧，分弊别考演虑外伏荷载木和1、2单独键作用暂时，隆基本备体系泳中的去附加催约束没力。60(1太)荷载单铸独作用揭：相应伏的约束座力为F1P和F2P(图1稠1-19a)。图11-19(a)CABDqF1PF2P(2)单位独位移1=1单独作古用：相怠应的约妖束力为k11和k21(图11-19b)。(3)单位位俯移2=1单独作结用：相桥应的约阴束力为k12和k22(图11-19c)。(c)k22k122=1(4)叠加公结果岁，考冲虑到双式(11-14)有：(11-15)22221212+D+D=PFkkF12121111+D+D=PFkkF(b)k21k111=1614、位移爹法基偷本方首程(11-16)02222121=+D+DPFkk01212111=+D+DPFkk式(1榆1-16)的物除理意祥义是蒸明确烦的，胸由此穗式可拔求出置位移1和2。与前织面的直吵接杆端肥弯矩法也是相通弱的。注意：kii——主系数庭，且kii>0；kij——副系数伙，且kij=kji；FiP——自由沉项；副系步数、偿自由序项可半为任方意值蔽。关于位凳移法和腾力法，锯利用基絮本体系降方法，摩基本未餐知量数扩目一旦贩确定，时即可写饶出其典押型方程传。三、然基本剂体系钉法(附加妨约束稀法)的解题南过程1、荷载是作用下F1P、F2P的计算张。62(1)作基本昏体系在绝荷载单蜜独作用瓶下的MP图(图11-20a)。(a)CABD4F1PF2P4MP图图11-20(2)取结点B为隔离洁体(图11-20b)，求得F1P=4kN·m。(b)BF1P40(3)取柱类顶以张上横唯梁BC为隔离扮体(图11-20c)，已知率立柱BA的固端栗剪力QBA=-qh/2嘉=-6kN，求得F2P=-6kN。(c)CBQCD=0F2PkNqhQBA62=-=-2、基各本体夜系在盘单位新转角1=1单独作键用下，耐求k11、k21。图为图(图11-21a)。M1(1)在基本体系中，当结点B有单位转角1=1时，其弯矩63图11-21(a)k21k116i2i4iABCD1M图(2)取结轿点B为隔肿离体(图11-21b)，得k11=4i+3(摊2i)=1增0i。(b)Bk114i6i(3号)取柱辈顶以倡上横嘴梁BC为隔摘离体(图11-21c)，已知泊立柱BA的柱顶仅剪力QBA=-6i/4应=-1.5kN，求得k21=-1.曲5i。(c)CBQCD=0k216iQBA-1.5ih==-3、2=1作用下扫求k12、k22其弯矩图为图(图11-22a)。M2(1)在基本体系中，当横梁BC有单位水平位移2=1时，(2)取结点B为隔离吴体(图11-22b)，得k12=-1.5i。64(b)Bk121.5i0(a)k22k121.5iABCD1.5i0.75i2M图图11-22(c)CBk22QBAi12ih2==34QCDi3ih2==316(3旷)取柱屠顶以某上横渴梁BC为隔累离体(图11-22c)，已知立论柱BA的柱顶医剪力QBA=12i/h2=3沸/4i，立柱CD的柱核顶剪殊力QCD=巩3i/h2=3掀/1魂6i，求得k22=1铅5i/1逃6。注意：此林题中芽求k12比求k21要简单旨，解题忠时注意观应用。4、位移博法基绢本方望程将求亚得的竞各系缩慧数和桥自由哲项代贵入方扮程式(11-16)，得击基本莫方程茶如下唯：65ii0616155.121=-D+D-ii045.11021=+D-D该基本右方程与岔前面在§11-4中得姻出的方程北完全相名同。5、求出筹基本未连知量1和2i158.72=Di1737.01=D6、作弯顾矩图利用下右列叠加为公式作搞原题刚耍架的M图。PMMMM+D+D=2211(11-17)杆端弯裹矩计算骆如下：66mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(4mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.0注意：杆端搬弯矩计楼算过程日中，以阴顺时针两为正。根据杆链端弯矩罪作出刚娃架的M图如盾图11-23所示邻。CABD图11-23M图(kN·m)4.4213.625.69667四、孤多个聋基本肚未知即量的滥位移扁法基触本方搬程当结槐构有n个基本提未知量竿时，其糊位移法吓的基本宰方程为庙：00022112222212111212111=+D++D+D=+D++D+D=+D++D+DnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkLLL(11-18)上式粗与力法的症基本绳方程字是对皆应的杂，在共这里nnnnnnkkkkkkkkkLLLLLLLLLL212222111211结构的刚度矩阵其中系债数称为赔结构的刚度脊系数，且有kij=kji，因此结构梯刚度矩阵敏是对念称阵万。其荒主系润数恒校大于兼零；拖副系冷数可壁为正澡，可图为负绸，也须可为划零。68§11-6对称拢结构婶的计译算由第引九章阵力法疑中讨占论过堂的情览况可诊知，括作用蚀于对称结催构上的任意荷糟载，可椅以分画解为对称荷炭载和反对捆称荷弟载两部赖分分权别计颗算。村在对湖称荷狸载作徐用下守，弯秧矩图刮、轴喉力图失及变遣形图燥是正帝对称矛的，课而剪济力图琴是反兴对称开的。鞠在反默对称甜荷载钞作用扰下，忆剪力究图是悄正对露称的景，而勒弯矩出图、钱轴力倒图及厨变形绞图是龄反对贼称的烈。利用这族些规则衰，计算果对称连亚续梁或避对称刚子架时，叹我们只融需计算盼这些结判构的半边结写构就可他以。务这里饿对第冬九章如讲的谈“半撕刚架伟”法排做些袄相应驾的补愧充。一、李半边难结构势的取怀法1、奇数朗跨69图11-24所示对哭称结构茧，在对掏称荷载(图a)和反征对称龄荷载(图c)作用猛下，战可取指图b、d所示半若边结构匙进行计动算。(a)qCABDE图11-24(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位猎移法计均算时，厘图b有一个伐基本未羊知量，而图d有两个皂基本未晓知量。702、偶炒数跨图11-25a所示对馆称结构翼在对称膏荷载作在用下，巧可取图b所示半买边结构趟进行计充算。(a)CDBAEFIq图11-25(b)CBAq图11-26a所示剪对称骗结构斩在反弯对称古荷载刊作用灵下，远在对困称轴荒上，劣柱CD没有片轴力王和轴肯向位耕移，值但是签有弯刚矩和志弯曲抖变形刚。(a)CDBAEFI2P2P图11-2671(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图11-26故图a可简得化为摊图b所示的崇结构，纷中间两杠根分柱沈的抗弯彻刚度为共原柱的字一半。蹄成为奇知数跨的值结构，美中间跨莫的跨度气为零。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时肆的半孩边结的构可热如图c、d所示京，有译三个彼基本陷未知烧量。衔中间阔柱CD的总内纽奉力为两融根分柱亩内力之坑和，即CD柱的总厉弯矩和棉总剪力屿为分柱贡弯矩和延剪力的慈两倍，振总轴力补为零。72二、举暖例确定糊图11-27中对称绍结构的捉基本未零知量并蝴选取半佛边结构献。(a)CBPP图11-27(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD73(d)PP图11-27(d)PCB基本未知量4个(A、D、A、