第二讲平行线的性质及命题

第二讲

相交线【学习标）掌握平行线的三条性质，了解两直线平行，同位角相等的证明；探索证明两条直线平行内错角相等（或同旁内角互补熟练的运用本节知识点解决实际问题。（2）了解命题、定理和证明的概念，能区分命题的题设和结论，能判断命题的真假，并能对一个命题的正确性进行证明。【学习点）平行线的性质（2）同位角、内错角、同旁内角（3）平行线的判定【学习点】【基础识】知识点1：行线的性质性质性质1性质2性质3

内容两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补

∥b（已知）∴∠1＝两直线平行，同位角相等）∵a∥b（已知）∴∠3＝∠5（）∵a∥b（已知）∴∠6＝180°（）只有在两直线平行的前提下才存在同位角相等，内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质，不要一提同位角或内错角就相等，一提同旁内角就互补，若没有两条直线平行的条件，它们是不成立的。平行线的判定和性质的区别与联系：平行线的性质描述的是“数量关系是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系例1．如图，∥，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？知识拓展：两条平行线间的距离同时垂直于两条平行线且夹在这两条平行线间的线段的长度做两条平行线间的距

a离。a辨析距离到直线的距离类似里的距离仍指符合条件的线段的长度。（2）平行线间的距离处处相等两条平行线的距离有广泛的应用，像平行四边形、梯形的高，测量河宽、路宽等都是指两条平行线间的距离。例2：如右图，已知：直线∥n，A、B为CDm直线n上的两点，C、D为直线上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A、B、C为三个定点，点在m上移动。那么，无论D点移动到任何位置，总有三角形与ABn三角形ABC的面积相等，理由是。课堂练习：

O1如图，已知∠1＝∠2

求证：a∥b．⑵直线，求证：

1

．2、阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知∥，＝∠2，试说明∥．证明：∵∥，∴∠＝∠）又∵∠1＝∠2，∴∠－∠1＝∠∠2，即∠＝∴∥）3、已知：如图DE∥AC，∠=∠是说明DB∥EC4、如图．MN，EF别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB射到镜面，反射光线为，此时∠1=∠2；光线过镜面射后的反射光线为，此时∠3=∠4．试探索AB和CD间的位置关系，并说明你的理由．1/8

5、如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，其中∥BC，∠A=115°，∠D=110°．则∠B、∠C的度数分别是．6、如图所示，AB∥CD，从下面四个图形中任选一个图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论．7、如图所示,把一张长方形纸片沿EF折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG的度数知识点2：题、定理、明判断一件事情的语句叫做命题。例如：如果两条直线

A

E

D

都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；等式两边数，结果仍是等式；对顶角相等。命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结知事项推出的事项。命题常可以写成“如果……那

B

GM

N

F

C

加同一个论是由已“如果”后面接的部分是题设后面接的部分

是结论如，上面命题中“两条直线都与第三条直线平行”是题设“这两条直线也互相平行”是结论。命题包括两种：如果命题的题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题，叫做真命题；如果命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做假命题。经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据。在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然据可以是已知条件也可以是已经学过的定义、基本事实、定理等。例3：判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假。（1）作∠A=∠B（2）你喜欢“中学教材全解”系列丛书吗？（3）整数一定是有理数（4）同角的补角相等（5）两个锐角互余2/8

课堂练：1、判断下列语句是不是命题（1）延长线段AB（）（2）两条直线相交，只有一交点（）（3）画线段AB的中点（）（4）若|x|=2，则x=2（）（5）角平分线是一条射线（）2、选择题（1）下列语句不是命题的是（）A、两点之间，线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。（2）下列命题中真命题是（）A、两个锐角之和为钝角B、两个锐角之和为锐角C、钝角大于它的补角D、锐角小于它的余角（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、分别指出下列各命题的题设和结论。（1）如果a∥b，b∥c，那么∥c（2）同旁内角互补，两直线平行。4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。（1）两点确定一条直线；（2）等角的补角相等；（3）内错角相等。5、如图,已知直线a、b被直线所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:(1)∵a∥b,∴∠1=∠3(_________________);(2)∵∠1=∠3,∴a∥b(_________________);(3)∵a∥b,∴∠1=∠2(__________________);(4)∵a∥b,∴∠1+∠4=180(_____________________)(5)∵∠1=∠2,∴a∥b(__________________);

(6)∵∠1+∠4=180,∴a∥b(_______________).6、已知：如图AB⊥BC，BC且∠1=∠2，求证：BE∥CF证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）∴==90°（）∵∠1=∠2（已知）∴=（等式性质）∴BE∥CF（）

AB

1F

E2

CD7、已知：如图，AC⊥BC，垂足为，∠BCD是∠B的余角。求证：∠ACD=∠B。证明：∵AC⊥BC（已知）

C∴∠ACB=90°（）∴∠BCD是∠ACD的余角

B

D

A∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（）8、已知，如图，BCE、AFE直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。3/8

求证：AD∥BE。证明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠（）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠（）

A1

3

2

F4

D∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（）即∠=∠

B

CE∴∠3=∠（）∴AD∥BE（）知识点3：移的概念及质把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的没一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。图形的这种移动，叫做平移。（1）图形的平移必须具备两个基本条件：一是平移的方向；而是平移的距离的平移改变成图形的位置，但不改变图形的形状和大小）形平移的方向不限于是水平的。（4各组对应点的线段”与“对应线段”的区别：前者是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成；而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形中，是图形的一条边。知识点4:利用平移作图平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案。在具体作图时，应抓住作图的四部曲——定、找、移、连。（1）定：确定平移的方向和距离（2）找：找出表示图形的关键点（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点（4）连：按原图形顺序连接对应点例、下列物体运动中平移的是（）A．打乒乓球的运动B．手表上指针的运动C．车在笔直公路上运动．轮的滚动1、下列各组图形，可由一个图平移得到另一个图形的是（）A、BCD课堂练习：例3：某宾馆在重新装修后，准在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售30，主楼梯道宽2，其侧面如图所，则购买地毯至少需要．课堂练习：1、如图所示的图案中，不能由本图形通过平移方法得到的图案是（）4/8

1122DD3.下列命题：①不相交的两条直线平行；00L0000ECB1E3DF1122DD3.下列命题：①不相交的两条直线平行；00L0000ECB1E3DFBABA、C、D、2、下面四个图案中，可以通过移某一个图形得到（）A、1、2个C、3D、4个下列运动属于平移的是（）A、车时汽车在地面上的滑B冷水加热时小气泡上升变为大气泡C、风飘动的风筝在空气中的动D手跑出的彩球的运动课检：下图形中，由A∥C，能得到12的是（）AC

2.如图，L,则∠α1A.1500B.1400C.1300D.1200CC2A．BC②梯形的两底互相平行；③同垂直于一条直线的两直线平行；

2

D

B

A1C50α

B2110D

D1L2④同旁内角相等，两直线平行.其中真命题有（）A.1个个个D.4

（第2题下命题：①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数其中假命题有（）A.1个个个D.4如，AB，么∠∠AEC+∠ECD=（）A.180B.270C.360D.5406.观察如图所示的三棱柱.

A

B（1）用符号表示下列线段的位置关系：ACCC,BCBC；111（2）⊿ABC可看作是把⊿ABC而得到的.111C1AA1A

C

D

B（第题图

（第7题）

（第8题）7.如图三角形ABC中，=90

0

，AC=2,BC=3

2

,把AC、BC、AB的大小关系用“”号C连接：.C8.如图，直线AB、CD交于点E,DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D的度数等于.A

E

D581

（第10题1GNCH（第10题1GNCH如，把长方形ABCD

沿EF折，若∠1=50则∠AEF的度数等于.中有对对顶角.如平移所给图形，使点移点A1，出平移后的新图形，再把它们画成立体图.图AB线EF交AB、H.GM平分∠平∠，那GM与AHN平？为什么？EAB∥CD，∠ECD=600,那∠度为？AB课作

A

B1.若三条直线交于一点，则共有对顶角平角除外)()EMA.6对B.5对C.4对D.3对D2.如图1所示，∠1的邻补角是)A.∠BOCB.∠BOE和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC和∠AOFFAB

D

1

P

图

CD图33.图2点E的延，在下列四个条件中，不能判定AB∥CD的()A.∠2∠B=∠DCE∠4∠DAB=180°4.一车在笔直的公路上行，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度是（）A．次右拐50°第二次左130°B一次左拐，第二次右拐50°C．第一次左拐50°第二次左130°D一次右拐，第二次右拐50°5.图3，AB∥CD那么A∠P数量关系()∠A+∠P+∠C=90°B.∠P+∠C=180°C.∠A+∠P+∠C=360°∠P+∠C=∠A6.个人从点A出发向北偏60°方走到B点，从发向南偏西方到C点，么∠ABC等()A.75°D.135°7.如图4所示，内错角共有)A.4对B.6对C.8对D.10对AD

A

B

A

FB

O

EB

C

C

D

C

D图4图58.如图5所示，已知∠3=，若要使∠1=∠2，则需(