第二节向量基本定理与向量的坐标(要点归纳夯实基础练)

第二节向量基本定理与向量的坐标【要点归纳】一、平面向量基本定理1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．2．向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．三、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．四、常用结论1．基底需要的关注三点(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．共线向量定理应关注的两点(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．3．两个结论(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).【夯实基础练】1．(2022•江苏省金陵中学高三二模)设平面向量，若则()A． B． C． D．【解析】由于，所以，，.故选：A【答案】A2．(2022•北京市一零一中学高三(上)统考(二))已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则()A．B．C．D．【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，，，设向量，则，所以.故选：A【答案】A3．(2022•江苏高三专题练)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为(

)A． B． C． D．2【解析】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令，则，，，因，于是得，解得，所以的值为.故选：B【答案】B4．(2022•重庆八中模拟)如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为(

)A．2 B．3 C．4 D．5【解析】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．设，则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4故选：C【答案】C5．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的内心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A．eq\f(10\r(6),3)B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(2)【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7．设△ABC的内切圆的半径为r，则eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq\f(2\r(6),3)，所以S△BOC＝eq\f(1,2)×a×r＝eq\f(1,2)×7×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(7\r(6),3)．故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝eq\f(14\r(6),3)．【答案】B6．(2022•重庆市第八中学高三第三次调研检测)已知向量，，，若，则m=___________.【解析】由题意可得，由，可得，解得，故答案为：【答案】##7．(2022•湖南省长沙市第一中学高三第八次月考)平面直角坐标系中，从点出发，依次按向量移动，则终点坐标为________.【解析】由题意，因为，所以，所以从点出发，向右移动8个单位，终点坐标为，故答案为：.【答案】8．(2022•湖南模拟)在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．【解析】由已知，得，所以，因为，所以，，所以．故答案为：【答案】9．(2022•湖南模拟)在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．【解析】由已知，得，所以，因为，所以，，所以．故答案为：【答案】10．(2022•北京市