弹性力学课件三九

9SolutionofSpatialProblems9.1Solutionintermsofdisplacements9.2Infiniteelasticlayerundergravityanduniformpressure9.6Concentratednormallodeonboundaryofasemi-infinitebody9.10Solutionintermsofstresses按位移求解空间问题(P184)取位移作为基本未知量，从空间问题的15个基本方程中消去应力分量和应变分量，得到只含位移分量的方程，解方程求位移，再由几何方程及物理方程求应变和应力9.1SolutionintermsofdisplacementsTakethedisplacementcomponentsu,v,wasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthedisplacementcomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythegeometricalequationsandthenthestresscomponentsbythephysicalequations.

推导如下：Forthispurpose,几何方程：geometricalequations将其代入物理方程得：Substitutethegeometricalequationsintothephysicalequations,其中：将上述应力分量表达式代入平衡微分方程，并整理后得：其中：这就是用位移表示的平衡微分方程，即拉密方程Thesearethedifferentialequationsweneedinsolvingaspatialproblemintermsofdisplacements.解方程求位移分量，所求的位移分量须满足位移边界条件：按位移求解也能分析应力边界问题应力边界条件：其中的应力分量用上述物理方程表示，就得到用位移分量表示的应力边界条件。轴对称问题几何方程：将其代入物理方程得：其中：Substitutethegeometricalequationsintothephysicalequations,将上述应力分量表达式代入平衡微分方程，并整理后得：这就是按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程Thesearethedifferentialequationsweneedinsolvingaspatialsphericalsymmetryproblemintermsofdisplacements.where：半空间体受重力及均布压力例1.如图所示，半空间体，密度为，边界上受均布荷载q作用，以边界面为xy面，z轴向下zxhgq9.2InfiniteelasticlayerundergravityanduniformpressureLetusconsideranelasticlayerofinfiniteextentanduniformthickness,whichisfixedatitslowersurfaceandsubjectedtoauniformpressureofintensityqonitsuppersurface.Withxyplaneintheuppersurfaceandzaxisdownward.Usethesemi-inversemethod分析如下：So,将上式代入方程：半空间体的体积力：X=0Y=0Z=gThebodyforcecomponentsareX=0,Y=0,andZ=g由于对称，所以位移分量u=0，v=0，w=w（z）Becauseofsymmetry,thedisplacementatanypointinthelayerisverticalanddependsonzonly前两式自然满足，第三式为：ThefirsttwoEqs.areidenticallysatisfiedandthethirdonebecomes简化后得：Integrationwithrespecttozyields积分后得：WhichcanbereadilysimplifiedtoA、B是积分常数WhereAandBarearbitraryconstants由物理方程求应力,thestresscomponentscanbeobtainedas：Nowwetrytodeterminetheconstantsbyboundaryconditions.由应力边界条件求积分常数AUsethestresscomponentsboundaryconditionzxq应力边界条件最后求得应力分量为：Thusthestresscomponentsareentirelydeterminedas由位移边界条件求积分常数BUsethedisplacementboundarycondition将w的表达式代入，求得：zxhq位移边界条件：（离开边界较远处，位移为零）最后，theverticaldisplacement位移分量为：最大位移发生在边界上：Evidentlythemaximumdisplacementoccursattheuppersurface求出的应力分量和位移分量满足所有的条件，所以初始的位移假设是正确的，所得的应力和位移是正确的解答。Nowthestressesanddisplacementsareentirelydeterminedandalltheconditionsaresatisfied.Thisprovesthevalidityoftheassumptionandtherebythecorrectnessofthesolutionobtained.侧压力系数：（铅直面上的水平正应力与水平面上的铅直正应力之比）andarethehorizontalstressesonverticalplanesandistheverticalnormalstressonhorizontalplanes.Theratioiscalledthecoefficientoflateralpressureinsoilmechanicsandfoundationengineering.半空间体在边界上受法向集中力例2.如图所示，半空间体受法向集中力P作用zrPrz9.6Concentratednormallodeonboundaryofasemi-infinitebodyLetusconsiderasemi-infinitebodyundertheactionofaconcentratednormallodePontheboundaryplane.这是一个空间轴对称问题，对称轴就是力P的作用线，建立如图所示坐标系，z轴放在力P的作用线上Evidently,thisisanaxisymmetricproblemwiththelineofactionofPastheaxisofsymmetry.若不计体力，位移分量应当满足轴对称问题的基本微分方程：其中：应力边界条件平衡条件：满足上霜述一切捞条件的裹解答（元布希涅幕斯克J.纯Bo杠us盼si腔ne当sq解答）红如下：zrPrzROn谨t每he醒n紫on液-l巩oa猛de否d疑pa密rt秀o躬f类th村e雨bo峡un熟da利ry技p棵la限ne仅,算we堤h餐av倘e格th嗓e逃bo我un叮da搞ry喝c浅on参di胁ti民on各s其中：同学池可自荡行验耕证：瓜位移素分量孔满足殿平衡具微分腿方程糠，几晶何方夺程和抗物理董方程退，应辩力分百量满壶足边搞界条富件，评因而宽解答售是正半确的求水平歪边界上画一点的隔沉陷：Fro刺mt箭he侨exp塌res抽sio区nf维or取w,悲we伤can讯ev标alu炸ate睁th赶ev蹦ert疼ica稼ld贡isp喷lac著eme昏nts萝at赛an毫yp技oin内ti拌nt猎he抓hor炉izo剥nta竖lb再oun沟dar吹yp轧lan飞e本节轧中解闷出的冠问题笨，其板应力膨分布站具有数如下冬特征（1）嫌当R时，各矿应力分冻量趋于斜零，当R0时，俘各应泪力分符量趋糖于无敏限大味，即痒离开体集中监力作蛙用点堂非常窗远处乌，应罢力非鲁常小腔，靠疫近集胡中力葵作用胆点处盒，应榜力非业常大（2）框水平截苹面上的脖应力（急r，zr）与弹性敢常数无晓关，因衬而，在躁任何材讲料的弹泥性体中意都是同肌样分布留的，而盈其他截耕面上的杨应力，誉一般都哪随而茅变化（3球）水塑平面晴上的舱全应忌力，饶都指俯向集划中力贵的作各用点士，因渠为至z：zr=z：舌r利用旺上述辈解答升，用皮叠加砌法求企