2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷(文科)(三)解析版

2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科）（三）已知集合，，则A. B. C. D.复数是虚数单位的虚部是A. B.i C. D.1已知数列的前n项和为，且，则的值为A.7 B.13 C.28 D.36下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是A. B. C. D.已知向量，满足，，，则A.2 B. C. D.设a，b为两条直线，，为两个平面，则下列说法正确的是A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则曲线在处的切线方程为A. B. C. D.如图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为

A. B. C. D.2某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为的统计结果，则下列点数中一定不出现的是A.1 B.2 C.5 D.6已知直线l：被圆C：截得弦长为2，则ab的最大值为A. B.2 C. D.1已知函数，若方程有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会国家.根据规划，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，如图，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为

A. B. C. D.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，则______

.根据事实；；；；…，写出一个含有量词的全称命题：______.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为______.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为______；若，的面积为，则边长b的值为______.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足，

求数列的通项公式；

设，求数列前n项和为

近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

请完成如下列联表；对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计是否可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.k，其中

如图，三棱锥的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面平面ABC，点E为线段PA中点，O为AB中点，点F为AB上的动点.

若平面CEF，求线段AF的长；

在条件下，求三棱锥与四棱锥的体积之比.

设函数，

求的单调区间；

设函数是增函数，求实数a的值.

已知椭圆的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点，的面积为

求椭圆C的标准方程；

过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线交于点M、证明：

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为为参数，曲线的极坐标方程为，曲线与相交于A，B两点.

求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

求点到A，B两点的距离之和.

求的解集M；

在条件下，设a，b，，证明：，，不能都大于

答案和解析【答案】1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D

8.B 9.D 10.D 11.B 12.B 13.

14.，…

15.

16.

17.解：设公比为q，，

由，，可得，

即有，解得，

所以；

由可得，

所以

18.解：由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200…分

根据表中数据，计算，

故可以认为在犯错误的概率不超过的前提下，商品好评与服务好评有关；…分

若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，

则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，b，

从5次交易中，取出2次的所有取法为

，，，，，，，

，，，共计10种情况，

其中只有一次好评的情况是

，，，，，，共计6种，

因此，只有一次好评的概率为…分

19.解：因为平面CEF，平面APB，平面平面

所以，即F为AB的四等分点，即；

在条件下，

三棱锥与四棱锥的体积之比为

20.解：的定义域为，

，解得，解得且，

故的单调增区间为，单调递减区间为，；

，定义域为，，

若为增函数，则对任意恒成立，

若，则故在单调递减，在单调递增，不符合题意，

若，则在单调递增，

在单调递减，在单调递增，不符题意，

若，则在单调递增，

在单调递减，在单调递增，不符题意，

当时，，此时恒成立；故符合题意；

综上所述，为所求．

21.解：，

解得，即椭圆C的标准方程为

证明：已知点，设直线PQ的方程为，

点，直线AP的方程为，

直线AQ的方程为，将代入直线AP、AQ方程，

可得，

已知右焦点F的坐标为，

则

，

联立椭圆和直线PQ的方程，可得，

化简得，即，

代入上式化简得，

因此

22.解：由为参数，消去参数t，可得曲线的普通方程，

由，结合，，可得曲线的直角坐标方程；

曲线的参数方程为为参数，

将其代入到曲线的普通方程中，有，

设，分别为A，B两点对应的参数，有，

由直线参数的几何意义，到A，B两点的距离之和为：

23.解：原不等式等价于，解得，

或，解得，

或，解得，

综上，原不等式解集为

由知，b，，

由基本不等式，，，，

所以，

假设，，都大于1，

有，

这与矛盾，

所以，，不能都大于

【解析】1.解：，，

故选：

可求出集合B，然后进行交集的运算即可．

本题考查了集合的列举法和描述法的定义，元素与集合的关系，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.解：因为，

所以复数的虚部是

故选：

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.解：因为，

所以

故选：

由已知可得，代入即可直接求解．

本题主要考查了由数列的和求解项，属于基础题．4.解：由周期是，排除B，

又由于在区间单调递减函数，排除A；

在区间不是单调函数，排除

只有满足题意．

故选：

利用函数的周期排除选项，利用单调性判断求解即可．

本题考查三角函数的周期以及函数的单调性的判断，是基础题．5.解：向量，满足，，，

则

故选：

利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可．

本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，是基础题．6.解：对于A：，，则，a与b可能异面；

对于B：，，则，b可能在面内；

对于C，，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；

对于D：，，则，b可能在面内．

故选：

利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．

本题考查命题的真假的判断与应用，直线与直线以及直线与平面的平行与垂直关系的应用，是中档题．7.解：求导函数，

曲线在处的切线方程为，即

故选：

求导函数，确定处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论．

本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．8.解：几何体直观图如图，四个面的面积分别为，

故最大面积为

故选：

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解各个面的面积，推出结果即可．

本题考查三视图求解几何体的面积，是基础题．9.解：若出现点数6，则，根据方差的计算公式可知，方差大于，

若出现点数1，2，5时，则分别有，，，故均可以．

所以一定不出现的是点数

故选：

利用方差的计算公式进行分析求解即可．

本题考查了方差的理解和应用，主要考查了方差的计算公式的运用，属于基础题．10.解：根据题意，圆C：的圆心为，半径，

若直线l：被圆C：截得弦长为2，则C到直线l的距离，

又由直线l：，则有，变形可得，

又由，变形可得，当且仅当时取等号，

故ab的最大值为1，

故选：

根据题意，由直线与圆位置关系可得C到直线l的距离d，结合点到直线的距离公式可得，变形可得，结合基本不等式的性质可得答案．

本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．11.解：由题意画出函数图象如图，

由图可知，要使方程有两个不等的实根，

则实数k的取值范围是

故选：

由题意画出图形，数形结合得答案．

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．12.解：设内层椭圆方程为，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，

可设成，，

设切线的方程为，

与联立得，，

由，则，同理，

所以，因此

故选：

设内层椭圆方程为，外层椭圆设为，设切线的方程为，分别与两个椭圆方程联立，求解，然后求解离心率即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．13.解：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在终边上，

则，，

故答案为：

由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，计算求得结果．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14.解：，…

答案不唯一，合情合理即可．

根据题意找出规律写出一个命题．

本题考查推理，命题，属于基础题．15.解：焦点到渐近线的距离为b，则，所以

故答案为：

利用双曲线的简单性质，结合，推出a、b关系，然后求解离心率即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.解：因为，

所以，

因为，

则，

所以，

即，

因为，

所以，

由余弦定理得，

故

故答案为：，

由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简可求，进而可求B；然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题．17.设公比为q，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；

由对数的运算性质和数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.由题意填写列联表即可；

根据表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论；

用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题．19.根据线面平行的性质可知，即F为AB的四等分点，从而可求出所求；

在条件下，根据，可求出所求．

本题主要考查了线面平行的性质定理，以及锥体的体积的计算，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．20.求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的值即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．21.通过三角形的面积求解a，即可得到椭圆方程．

设直线PQ的方程为，点，直线AP的方程，直线AQ的方程，将代入直线AP、AQ方程，求出M、N坐标，通过向量的数量积为0，即可得到结果．

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.直接把参数方程中的