高中数学人教B版1-2学案：第二单元 2.1.2　演绎推理 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.2演绎推理明目标、知重点1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1.演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.2。演绎推理的特征当前提为真时，结论必然为真。3.三段论推理，三段论的一般表示M是P，S是M；所以，S是P。[情境导学］小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢了50元,这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢?探究点一演绎推理与三段论思考1分析下面几个推理，找出它们的共同点。（1)所有的金属都能导电，铀是金属,所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1）是奇数，所以(2100＋1）不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数,因此tanα是周期函数；（4)两条直线平行,同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°。答思考1中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.思考2演绎推理有什么特点?演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理,结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实。在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的,推理形式是正确的，结论必定是正确的。思考3演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2)小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例1将下列演绎推理写成三段论的形式。（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；（2)等腰三角形的两底角相等，∠A,∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3）通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解(1)平行四边形的对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分。结论（2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A,∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论（3)数列{an｝中，如果当n≥2时,an－an－1为常数，则{an}为等差数列,大前提通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3］＝2(常数），小前提通项公式为an＝2n＋3的数列｛an｝为等差数列。结论反思与感悟用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系。有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1把下列推断写成三段论的形式:（1)因为△ABC三边的长依次为3，4,5，所以△ABC是直角三角形；（2）函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3）y＝sinx（x∈R）是周期函数。解（1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3，4，5,而32＋42＝52，小前提△ABC是直角三角形.结论（2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提函数y＝2x＋5的图象是一条直线.结论（3)三角函数是周期函数,大前提y＝sinx（x∈R)是三角函数,小前提y＝sinx(x∈R）是周期函数.结论探究点二三段论推理中的易错点例2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：（1）整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数。结论(2)常数函数的导函数为0,大前提函数f（x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数.结论（3)无限不循环小数是无理数，大前提eq\f(1，3)(0.33333…）是无限不循环小数，小前提eq\f（1,3)是无理数.结论解（1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数。（2）结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.（3）结论是错误的，原因是小前提错误.eq\f（1,3）(0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数。反思与感悟演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.跟踪训练2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：（1）因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学,小前提所以北京大学分布在中国各地.结论（2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形。结论解(1）推理形式错误。大前提中的M是“中国的大学"，它表示中国的各所大学,而小前提中M虽然也是“中国的大学",但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误。（2)结论是错误的，原因是大前提错误。因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形.探究点三三段论的应用例3如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足，求证:AB的中点M到点D，E的距离相等.证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD中,AD⊥BC，即∠ADB＝90°,小前提所以△ABD是直角三角形.结论同理，△AEB也是直角三角形.（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线,小前提所以DM＝eq\f（1,2)AB.结论同理EM＝eq\f(1，2)AB.所以DM＝EM。反思与感悟应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件（小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结论。如果大前提是显然的，则可以省略.跟踪训练3已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点,如图所示,求证：EF∥平面BCD。证明三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A。两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A＋∠B＝180°B。某校高三1班有55人,2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C。由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D.在数列{an}中a1＝1,an＝eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（an－1＋\f（1,an－1)）)(n≥2)，由此归纳出{an｝的通项公式答案A解析A是演绎推理，B、D是归纳推理,C是类比推理.2.已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形。根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是__________________。答案正方形的对角线相等解析根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.3。把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提:____________；小前提：____________；结论：____________。答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高,求证：∠ACD〉∠BCD.证明：在△ABC中,因为CD⊥AB，AC〉BC，①所以AD〉BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________.（只填序号）答案③解析由AD〉BD,得到∠ACD〉∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角"，小前提是“AD>BD",而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.[呈重点、现规律]1.演绎推理是从一般