必修一讲义精练第一章121.21第二课时函数的概念

1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数其次课时函数的概念函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到以下问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：年份20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)5791012你能依据这个表说出这个地区城乡居民人民币储蓄存款的规律吗？(2)一物体从静止开头下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满意关系式yx2.假设一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？(3)以下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，假如依据某种对应法那么f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由全部x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法那么，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.气压/(105Pa)10沸点/(℃)81100121152179这张表给出了沸点与气压之间的函数关系，定义域是{0.5,1.0,2.0,5.0,10}，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．函数概念的理解[例1]以下对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可依据函数的定义直接推断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，依据对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且eq\r(x)不肯定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，依据对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.借题发挥(1)A，B必需是非空数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一〞或“多对一〞的是函数关系，“一对多〞的不是函数关系．(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)假设l与图形有且只有一个交点，那么是函数；假设在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，那么不是函数.1．假设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，那么以下图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是()解析：选DA中的对应不满意函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满意函数的唯一性，只有D正确．2．以下对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)解析：选BA错误，x2＋y2＝1可化为y＝±eq\r(1－x2)，明显对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.“f〞的含义及函数值问题[例2]f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)．求：(1)f(0)及feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值；(2)f(1－x)及f(f(x))．[思路点拨]将f(x)中的x分别赋值或式子，代入eq\f(1－x,1＋x)中化简即得．[解](1)f(0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)f(1－x)＝eq\f(1－1－x,1＋1－x)＝eq\f(x,2－x)(x≠2)．f(f(x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－\f(1－x,1＋x),1＋\f(1－x,1＋x))＝x(x≠－1).借题发挥(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是按“f〞与x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可；(2)求f(f(x))时，一般应遵循由里到外的原那么.3．函数f(x)＝x2－2x，求：(1)f(－2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x≠0)；(3)假设f(x)＝3，求x的值．解：(1)f(－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))＝eq\f(1,x2)－1(x≠0)．(3)假设f(x)＝3，那么x2－2x＝3，x＝－1或x＝3.1．假设f(x)＝eq\r(\f(1,x))的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，令全集U＝R，那么M∩N＝()A．M B．NC．∁RM D．∁RN解析：选AM＝{x|x>0}，N＝R，∴M∩N＝M.2．以下图形中，不行能是函数y＝f(x)的图象的是()解析：选B依据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确．3．以下各对函数中，图象完全相同的是()A．y＝x与y＝(eq\r(3,|x|))3 B．y＝(eq\r(x))2与y＝|x|C．y＝eq\f(x,x)与y＝x0 D．y＝eq\f(x＋1,x2－1)与y＝eq\f(1,x－1)解析：选C假设函数的图象相同，那么是相同的函数．对于A，y＝(eq\r(3,|x|))3＝|x|，所以对应关系不同；对于B，y＝(eq\r(x))2＝x(x≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C，y＝eq\f(x,x)＝1(x≠0)，而y＝x0＝1(x≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D，y＝eq\f(x＋1,x2－1)＝eq\f(x＋1,x＋1x－1)＝eq\f(1,x－1)，其中x2≠1，即x≠±1，而y＝eq\f(1,x－1)中x≠1，定义域不同，不是相同函数．4．f(x)＝eq\f(1,1＋x)，g(x)＝x2＋2，那么f(2)＝________，f[g(2)]＝________.解析：f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(2)＝22＋2＝6，∴f[g(2)]＝f(6)＝eq\f(1,1＋6)＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,7)5．函数f(x)＝x2－x，假设f(eq\r(a))＝2，那么a的值是________．解析：f(eq\r(a))＝(eq\r(a))2－eq\r(a)＝2.即(eq\r(a)－2)(eq\r(a)＋1)＝0，a＝4.答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y＝f(x)〞有了哪些新的熟悉？对应关系f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y＝f(x)是“y是x的函数〞的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能理解为“y等于f与x的乘积〞．f(x)与f(a)的区分与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量．虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于f施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()解析：选D由函数的定义可以推断只有D正确．2．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，那么y＝f(x)的图象与直线x＝2的交点个数为()A．0 B．1C．2 D．不确定解析：选B∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y＝f(x)的图象与x＝2只能有一个交点．3．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，以下不表示从A到B的函数是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)解析：选C对选项C，当x＝4时，y＝eq\f(8,3)>2不合题意，应选C.4．以下说法错误的选项是()A．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B．函数的定义域是无限集，那么值域也是无限集C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D．假设函数的定义域只有一个元素，那么值域也只有一个元素答案：B二、填空题5．函数f(x)＝x2＋|x－2|，那么f(1)＝________.解析：∵f(x)＝x2＋|x－2|，∴f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.答案：26．假设f(2x)＝x3，那么f(1)＝________.解析：令2x＝1，那么x＝eq\f(1,2)，∴f(1)＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)三、解答题7．函数f(x)＝x2＋x－1，求：(1)f(2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))；(3)假设f(x)＝5，求x的值．解：(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))－1＝eq\f(1,x2)＋eq\f(3,x)＋1.(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.8．函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值；(2)求证：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))是定值；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))的值．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,1＋32)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝