高中数学第三章三角恒等变换第二节简单的三角恒等变换第二课时示范教案

第章二简的角等换二时导入新课思路1.(题导三角化简、值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差半余关用变换通与结论中角的差异，ππ使问题获得解决β)－β＋＋(－＝(＋α)－(－α)44πππ＋α＝－(－α)，你能总出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．424思路复习导入)面已经学如何把形如＝sin＋cosx的函转化为形如＝Ax＋φ)的函数，本节主研究函数＝sin＋cosx的周、值性三角函数和代数知识联系密切是其他各类知识的重要工具考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．推进新课新知探究提出问题①三角函数y＝sin，＝cos的期，最大值和最小值是多少？②函数y＝sin＋cos的形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么用？活动师学生对前面已学过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾道正弦函数，余弦函数的图象都有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2π(且≠0)期都是π.角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，如，函数＝sinx的是2kπ(∈Z且，且最小正周期是2，函数x周期是π(且k，小正周期是.弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值，所以这两个函数的值域都[－1,1]．函数＝sin＋cos＝＋(

asin＋

bcos)a＋∵(

a)＋(＝1，从而可令＝cos，a＋a＋a＋

ba＋

＝sinφ则有sin＋cos＝＋(sincosφ＋cosφ)＝＋x＋．b因此，我们有如下结论：asinxcos＝＋sin(＋φ)中tan＝.在以a的学习中可以用此结论进行求几中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是种重要的数学方法．讨论结果：①y＝sin＝cosx周期是2π(且≠0)最小正周期都是2π大值都是1，最小值都是1.②～③(略活动．应用示例思路1π例1如图1知径为1，圆心角为的，C是扇上的动点是3扇形的内接矩形．记＝，当值时，矩形的积？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取时，形的积S大，先找出与α之的关

333333系，再求函数的最值．找与之间数关系可以让学生自己解决得到：3S＝·＝(cossinα)sinαsinα.33求这种＝asin＋xcosx＋c函值，应先降幂，再利用公式化成Ax＋φ)型的三角函数求值．教师引导学生思考：要求当角α取时，矩形的，可分两步进行：(1)找出S之间数关系；(2)由得出的函数关系，求S的值．解：在Rt△，＝cosαBC＝sin，图1DA在△＝tan60°＝3，OA所以＝

333DA＝＝sinα.333所以＝－＝cosα.3设矩形的为则S＝·＝(cos

33

sinα)sin＝sinαcos－

3sin3133＝sin2αcos2α266＝

13(sin2＋cos2α)－21π＝sin(2＋)－6πππ由于0<α<，所以当2α＝，362π133即α，S－＝.66π3因此，当α＝，矩形面积最大，最大面积为.66点评：可以看到，通过三角变换我们把形＝＋的转化为形如Ax＋的函数，从而使题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记”改成“求矩形的大面积时自量多3种选择，如设＝(1xx)尽管对所得函数还时无法求其最大值，但能3促进学生对函数模型多样性的理，并能使学生感受到以角为自变量的优

变式训练ππωx已知函数f(x＝sin(＋)ωx－2cos，x∈R(其ω>0)662(1)求函数f(x的值域；π(2)若函数y＝(的图象与直线＝－1两个邻交点间的距离为，数y2＝f(x的单调增区间．解：(1)()

3131sinω＋cosω＋sinω－cosω＋1)222＝2(

3sinωcosω)2π＝2sin(－)－1.6ππ由－1≤sin(ω－)≤1，－3≤2sin(－)≤166可知函数f(x的值域－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象性质，可知＝(的周期为π又由ω>0，2π得＝π，即得ωωπππ于是有x)＝2sin(2－－1再由π≤2－≤2＋(∈Z)626ππ解得π≤≤＋(∈Z)．6π所以＝x)的单调增区间[π，π＋](∈Z)63点评：本题主要考查三角函数公，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能例2函数＝sin

＋23sincos－cosx的最周期和最小值；并写出该函数在[0，π]的单调递增区间．活动师学生利用公式解要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：＝sin＋23sinxcos－cos＝(sinx＋cos)(sin－cos3sin2＝3sin2－cos2xπ＝2sin(2)6π5故该函数的最小正周期是π小是在单调增区间，36π]．点评：本题主要考查二倍角公式及三角函数的单调性和周期性等基础知变式训练已知函数f(x＝cosx－sin，(1)求(x的最小正周期；π(2)若∈[0，，求(的最、最小值．2解：()＝cosx－2sincos－sinxx＋sin)(cosx－sin)－sin2xπ－sin22cos(2＋)4

2所以，(x的最小正周期＝＝2ππππ(2)因为x∈[0，]所以2＋∈[，244πππ2当2＋时cos(2＋)得最大值，444π当2＋π，＋)得最小值－1.4π所以，在0]的最大值为，最小值为－2.2思路2例1已数f)x＋ω>0,0≤≤是R上函，其图象关于点3ππM(对，且在区[]上是单调函数，求φ和ω的42活动：学生在解此题时，对(是偶函数这一条件的运用不存在题，而在对x)3π的图象关于(对”一件使上数考生都存在一定问题．一地，定义4在R上函f(x)定域内任意x满件：(＋＝2－(－，则＝(的图象关于(a)对称反教这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f)偶函数，得－)()，即sin(ω＋＝sin(ω＋所以φsin＝cosφsinx对任都立．又ω>0所以，得cosπ依题设0≤≤，以，解得＝.233π由()图象关于点M称，f(－＝－(＋)443π33取，f)－()，所以()443π3ωπ33π∵f()＝sin(＋)＝cos，∴cos＝0.44243ωππ又ω>0得＝＋π，42∴ω＝(2＋1)，＝0,1,2，322ππ当时，ω，(＝sin()在[0，]减函数；332ππ当时，ωf(x＝sin(2)[，]减函数；2210π当时，ω，(＝sin(＋)在，]是单调函数．3222所以，综合得ω或＝2.3点评题是利用函数思想进行题合三角函数的图象与性质函进行变换然后进而解决此

变式训练已知如图的Rt△，＝90°为，、的角分长分别为m，＝2问：否能在区π找到角θ使等式θ－B＋C－sin＝4(cos－cos)？若能，找出这样的角θ若，请说明理由．22图2ABAB解：在Rt△＝cos，eq\o\ac(△,Rt)中，m2aB∴mcos＝sin.2C同理，cos＝sin.2B∴mncoscos＝sinsin.22而＝2，BCBC1∴cos＝2sinsin＝8sin∴sinsin.22222228＋－C积化和差，得4(cos＝－122＋－Cπ若存在使cosθ－sinθ－cos)立，则2cos(θ)224＝－1，π2∴cos(＋).而π<π，425ππ∴θ≤.这样的不存．444点评于不确定的开放式问题称之为存在性问题理问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进演绎推理出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探结论的过程可概括为假设——推证——定1例2已知tan(αβ)β－β，π)求2－β的值21解：∵2αβαβ)β＝，2α－4∴tan2(αβ)1－tanαβ3从而α－β)＝tan[2(α－β)β]＝＝1.

4125－α－β＋tanβ3721＝＝1α－β41251＋×3721αβ＋tan1又∵tanαα＋＝<1.1－αββ3π且0<α<∴0<α<.∴0<2α<.42

1ππ又β－，且β∴<－β<.7223∴－π<2－β<0.－β＝.4点评：本题通过变形转化为已知角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质时三函数值角围求准确角外，求角一般都通过三角函数值实现该哪一种函数值，往往有一定的规律，若ππα，π)，则求cosα；α∈(，，则求α．22知能训练课本本节练习4.1ππππ解答：4.(1)＝sin4.小正期为，递增区间－＋，＋](∈Z)228221最大值为2(2)y＝cos最正周期为，递增区间为πππ＋2π](∈Z)大值为；ππ5ππππ(3)y＋)．最小正周期为，区间为＋，](∈Z)32242242最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等形如＝sin＋x的函化为形如Ax＋的函数，从而能利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换应用，通过三角恒等变形，把形如＝sinbcosx的函数转化为形如＝sin(ω＋的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的中教师要强三函的质角数的重要内容果给出的三角函数的表达式较为杂必先过角等函数的解析式变形化简然根据化简后的角函数，讨论其图象和性质．因此变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因的定义域往往发生一些变化导变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练次搞清楚公式之间的内在联系己出结构图三是在三角恒等变换中结第一章三角函数关系导式等基础知识三识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式角关系的运用仍然是重考查的地方该起够视别角的范围的讨论，从而确定符号在三形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点对角函数合应用的考查仍然以三角与数列等平面向量、解析几何、三角与解三角形实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基初等函数之一来考年都要考查三角函数

22的图象和性质的基础知识．在综题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知技能和基本方法的前提下应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有偶性性值等问题还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质能此依究析式为三角式的函数的性质握判断周期性单调区间的法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题1.

sin10°＋sin20°的值是cos10°＋cos20°A．tan10°＋tan20°B.

33C．tan5°3答案：π2．若α－β＝则sinαsinβ的大是(4A.

2－22B.44C.

34

．1答案：13．若cosαsin＝，数y＝sinαcos的域(2311A．[－，]－，]2