高中数列分类典型例题

nn22高数类型（编nn22例1、已知数n和1n①求证：数列②求数式

12

(an③设数列

nn

的n项和T否存在实MM对一切正整都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。1解：①∵(a2

1(n2)(ann1(n2)(

整理得，naa(nna(2)a

aan

n

)∴数列。a，na1

n

(na21a为2dnn③

1an

1(2n1)(2n3)1

nnnnnn

1

111()35722n11()2又当

，Tn

要使T对一切正整数成立，只要M整n

，所以存在实数M使对一切正都成立M的最小值为

16

。例2：⑴在等比数列中，aa，aa4n①，②T求Tnn解：⑴①由等比数列的性质可知：a321634a1616a111，即212

②由等比数列的性质可知a(6)lg2，lga5lg2n(lgaa)nn所1n22

数列，因为3.

111nnn

，(N

)，与的大小关系是(C)A

a

B

a

C

D．不能确定解：因为

nnnnn2

12nn2nnn22n111nn所12nn2nnn22n111nn

，选Ｃ．函数与数列综合：@1.已知在正项数=2，且1(，an

双曲线y上，数点（T）在直线x上，其T是数项和，①求数式；nn②求证：数。③a，求证：nnn

n

。n解：①由已知带点A(，nn

n

y

x

上知，

＝１，所以数为首项，以1为公差的等差数列。n所以an②因为点b,T）在直线yx上，1以T21以Tbnn11bnn所以bb，n令所b所以为以为公比的等比数列。所以b)n3ann

23n所以Cn2)nn

3

2n

23n

3

2n

所以C

n

n3

一、

错位相减法求和12例1：求和Saaa3n解：⑴aS

n(n2⑵a，因为aS

123aaan

①112nS②a2n由①－②得：1n)2na

(1)ana

所综所，

(a

(n(2

(nan((2

(a点拨①若数求数项和时可采用错位相减法；nn②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1行讨论；③当将Sq

S相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、

裂项相消法求和例2：数=8a，a1

n

n

n

）①求数式；求数T。则

所以=8＋n1）×（－2）＝―10－2n4

nnnnknkn=nnnnnnnknkn=nnn1bn)2(1()4n所以T1

1111()))424n111(1)42n3m84(n4(n2)32对一N

恒成立。22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列

{a}

中，

a1

n

1n)an2n（I）设

abn

，求数列

{}

的通项公式（II）求数列

{a}

的前项和

S

分析）由已知有

nnbn利用累差迭加即可求出数列

{}

的通项公式:

n

n

(

n

*

)（II）由（I）知

nn

n

,

S

k))2k而

k

k)(

,又

k

k

是一个典型的错位相减法模型，易得

k

k2n

S

=

n(

n2n30.(2009湖北卷理)已知数列

)的前n项和（n为正整数5

nnnnn2nnnn41nnnnnn2nnnn41n（Ⅰ）令

nan

n

，求证数列是等差数列，并求数列n的通项公式；(Ⅱ）令

n

n

，

T........2

试比较

T

与

5n2

的大小，并予以证明。解（I）在

S)

中，令n=1，可得

1

，即

a1

122时，

S

n

n

11))22

n

，2an

n

1)n即nnn

.bnnnnn

即n时bn

.又

1

数列n是首项和公差均为1的等差数列于是

bna,nn

n2

.(II)由（I）得

cn

nan)n

n

，所以11))22

n111)2))n)22222

n由①-②得

1111)))n)2222

n

1[1)n]1n)n12n2Tn

n2nn5n(n3)(2nT22nnn于是确定

与n

n

的大小关系等价于比较

2

n与2

的大小由

2

2

3

4

5

6

n9n9可猜想当

时n

证明如下：证法1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设

nk

时

k

2g2

k

2(2kk2(nk所以当时猜想也成立综合（1）可知，对一正整数，都有

2

证法2：n时2

n

n

0n

n

2n

n

n

0n

1n

n

n

n综上所述，当

n1,2时

n

n5n，时等差等比公式热身练习3数为ann则数列3等差数，则前n112各项中最小项是(B)10或11项的和最大。A项B项C项D．第７项

解：

，S0912例2已知数项分别求其通项n公式.

12又Sn

n

差数列S为最大。10115．已知数列

项和nn

2

n

1．已差数列10，其前1010,,(n2)

项的和70，则其公d等于(D)2．等差数481012则的值为)11A．14B．15C．16D．17

C．2．已

知

D．等

差

数

列

中，解

1aa(ad)2(3

则等于（A）79A．15B．30C．31D643．等差数列项和记为，已知7

(nN，则f()等D）(nN，则f()等D）12，a

50

(

，S=242①求通；②若S=242，

(n

解aan1

解得n或n舍去）30，10

20

1设fn

3解方组

11a2nn

22．(8nB(8n772(8nD(8n72．等比数列a}中，已知a=2，则此数列前n917项之积为（D

1.(2009年广东卷文)已知等比数{a}的公比为正数，且=1，=95）

A.

B.

C.

D.2A．2

16

C．217

B216D217

1.已知数列2,an13

n

是等比数列,3．等比数列｛a｝中，a=7，前3项之和S=21，n33则公比q的值为（C）1A．1B．－C或－211D．－1或24．在等比数列{a}中，如果a=6，，那么n693等于（A）

(1)求数式;1(2)求证:；a1