湖南三年数学高考真题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.若log2a<0,（；）"〉1,则【】

A.a>1,b>0B.«>1,b<0

C.0<a<ltb>0D.0<a<1,b<0

2.对于非零向量工及“G+B=O”是“Z//3”的【]

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

JT

3.将函数y=sinx的图象网方平移夕（0«9<2万）个单位后，得到函数^=5出口一一）的

图象，则0等于【】

71c5）C77r、11）

A.—B.—C.—-D.——

6666

X

4.如图1,当参数丸=4,4时，连续函数丁=7=^。20）的

\J\+Ax

图像分别对应曲线C1和，则【】

A.0<4<4B.0<4<4

1图1

C.A]<22<0D.4<4<0

5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则F日、乙至

少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【】

A.85B.56C.19D.28

x-2y>0,

6.已知D是由不等式组1所确定的平面区域,则圆Y+y=4在区域D内的弧

x+3y>0

长为【】

71r冗c3刀n3%

A.—B.—C.—-D.—

4242

7.正方体ABCD—AmCQi的棱上到异面直线AB,eq的距离相等的点的个数为【】

A.2B.3C.4D5

AB

8.设函数y=f(X)在(-8,+8)内有定义.对于给定的正数K,定义函数

•4(%)=<取函数〃x)=2—x—1。若对任意的xe(-00,+8),恒有

」(x)=/(x),则[]

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分

9.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不

喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

10.在(l+x)3+(l+«y+(l+加》的展开式中，x的系数为—(用数字作答).

TTTT

11.若xe(0,,),则21211犬+1211(5-了)的最小值为.

12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60°,则

双曲线C的离心率为

13.一个总体分为A,B两层，其个体数之比为4：1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容

量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为则总体中的个体数为

28

14.在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则

(1)球心到平面ABC的距离为；

(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为.

15.将正A48C分割成〃2(〃>2,〃eN*)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3

的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于/ABC的三边及平行于某边的任一直

线上的数(当数的个数不少于3时D都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互

不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为/(〃)，则有/(2)=2,/(3)=

，…，/(«)=•

Z\图2图3

BCB

三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在AABC中，已知2通.元=石|通口公卜3就，求角A,B,C的大小

17.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业

建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,，L现在3名工人独立地

236

从中任选一个项目参与建设。

（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）记々为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求J的分布

列及数学期望。

18.（本小题满分12分）

如图4,在正三棱柱ABC—A4G中，AB=42AA,,

点D是4隹的中点，点E在AG上，且

（I）证明：平面AOE1.平面ACGA；

（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。

19.（本小题满分13分）

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距机米，余下工程只需建两端桥墩之间

的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥

面工程费用为（2+五口万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因

素.记余下工程的费用为y万元。

（I）试写出y关于x的函数关系式；

（JI）当机=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

20.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离

的3倍之和记为d.当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

（I）求点P的轨迹C；

（II）设过点F的直线/与轨迹C相交于M,N两点，求线段MN长度的最大值。

21.（本小题满分13分）

对于数列｛〃,｝,若存在常数M>0,对任意的〃eN*,恒有

Mu

|„+I-|+\n-u,,_l\+---+\u2-ui\<M,

则称数列｛〃,J为8-数列.

（I）首项为1,公比为q（同<1）的等比数列是否为B-数列？请说明理由；

请以其中一组的一个论断条件，另--组中的一个论断为结论组成一个命题

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（II）设s,是数列｛4｝的前〃项和，给出下列两组论断；

A组：①数列｛%,｝是B-数列，②数列卜“｝不是B-数列；

B组：③数列｛SJ是B-数列，④数列⑸｝不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论

组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（III）若数列｛4｝,｛〃,｝都是8-数列，证明：数列也是5-数列。

参考答案

选择题

1—5DADBC6—8BCD

二.填空题

9.1210.711.27212.--13.40

2

14.(1)12(2)315.(1)—(2)-(n+l)(/?+2)

36

三.解答题

16.解：设BC=a,AC="A3=c

6

由2而.尼=6］嘉H就［得28ccosA=G"c,所以cosA=-^-

TT

又AE(0,4)，因此4=一

6

由百|而=3前2得6。=百。2,于是sinC-sinB=Jisii？4=学

s、i.厂./54小G.一/I「G.一、百

所以sinC•sin(--C)-,sinC•(—cosC+-^-sinC)=,

因此2sinC,cosC+2^3sin2C-V3,sin2C->/3cos2C=0,既sin(2C-?)=0.

..71j-5了”，、，71_„7147r

由4=一知0<C<—,所以一一<2C-一<——，

66333

从而2C—工=0,或2C—二=肛，既。=工，或C=也，

3363

故人=工,8=生,。=工，或4=工,8=工,。=如。

636663

17.解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

A,,4c,i=i,2,3.由题意知4,4,A相互独立，耳，々，与相互独立，。|,。2，。3相

互独立，4,吗,G(i，j，k=l,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立，且

p(4)=1p(B,)=]p(G)=!

Z3o

(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3!P(AB2C3)=6P(A,)P(B2)P(C3)=6xixlxi=l

2366

(II)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为〃，

由已知，〃B(3,3),且J=3-〃。

所以P"=0)=P(7=3)=C；g)3=g，

P"=1)=P(7=2)=C；(i)2(|)=1,

P(々2)=P(7=1)=《(；)守总，

P。=3)=P(77=0)=Cf(|)3=

故J的分布列是

40123

p1248

万9927

J的数学期望EJ=0XL1X2+2X&+3X2=2.

279927

解法2:记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件。,，i=l,2,3.

112

由已知，A，。?，"相互独立，且P（2）=（A+c.）=P（A）+P（C.）=—+—=—,

263

5(3,1),即P(J=k)=C；(|)A(1)W,k=0,1,2,3.

所以J

故4的分布列是

q0123

p1248

279927

解：（I）如图所示，由正三棱柱ABC—A4G的性质知J•平面A4G.

又DEu平面A4G，所以DEJ.A4.而DE_LAE,DAE=A,

所以DE_L平面ACC,又DEu平面ADE,故平面ADE1平面ACgA

（2）解法1：如图所示，设F是AB的中点，连接DF,DC1，

C]F,

由正三棱柱ABC-4BCi的性质及D是A#的中点知，

J_C]D,A{BX±DF

又gDriDF=D,所以ARJ_平面gDF.而所〃,

所以AB_L平面（\DF.又ABu平面ABCr

故平面ABg，平面C|DF。过点D做DH垂直gF于点H,则DHL平面ABC]。

连接AH,则NHAD是AD和平面ABg所成的角。

由已知AB=V2AA]，不妨设AA「母，贝UAB=2,DF=0,Dg=,C,F=V5,

AD=房E=5吹空也;挈=我.

GFJ55

所以sinZHAD=—=—o即直线AD和平面ABg所成角的正弦值为叵.

AD55

解法2：如图所示，设0是AC的中点，以0为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA尸灭，

则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0),B(73,0,0),g(0,1,拉)，D

(旦—L痣)。

22

易知1,0),AC〕=(0,2,72),而吟,

r如),

设平面ABC1的法向量为〃=(x,y,z),则有

nAB=石x+y=0,

V

“,AG=2y+V2z=0.

解得x=--y,z=-V2y.

故可取;=(1,->/1,指).

1UL皿

,XUUIh2V3Vio

所以，cos(n,A£))=TtitflK'.

V10xV35

n-A。

由此即知I,直线AD和平面ABg所成角的正弦值为巫。

15

fri

19.解：(I)设需新建〃个桥墩，则(〃+l)x=机，即的——1,

x

所以y=f(x)=256n+(n+l)(2+4)x=256(%-D+%(2+«)x

XX

256mr—,

---------\-myJx+2m-256.

x

(II)由(I)知，/'(x)=-2^56F/H+-1mx—2=-^/«y(x—2-512).

x22x

3

令/。)=0,得户=512,所以x=64.

当0<x<64时,f\x)<0,/(x)在区间(0,64)内为减函数;

当64<x<640时,f'(%)>0./(x)在区间(64,640)内为增函数.

irt640

所以/⑴在x=64处取得最小值，此时〃='_1=旁_1=9.

x64

故需新建9个桥墩才能使y最小。

20.解：(I)设点P的坐标为(x,y),则，/=4而，二7+3|x-2|.

2

由题设，d=18+x,即4"(x-3)-y?+3|x-2|=18+x.①

当x>2时，由①得近_3)2+丁=6-；x,……②

22

化简得2+二

3627

当x42时，由①得J(3+x>+y2=3+x,……③

化简得>2=12x.

22

故点P的轨迹C是椭圆G：3+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线：丁=12x在直

线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1.

(II)如图2所示，易知直线x=2

与G，的交点都是A(2,2&)，B(2,-276),

直线AF,BF的斜率分别为g=-2&,kBF=246.

当点P在G上时，由②知归尸|=6—……④

当点P在G上时，由③知|PF|=3+x.……⑤

若直线I的斜率k存在，则直线I的方程为y=k(x-3).

(i)当kWkAF,或k>kBF,即kW-2庭或k\2^6

时，直线/与轨迹C的两个交点M(x“y)N(X2，y2)都在G上，此时由④知

阿可=6-；苞，=6-，

从而|MN|=|MF|+|NF|=(6--x.)+(6-—x)=12--(x.+x).

22222

y=k(x-3),

2222

由x2y2M(3+4Z:)x-24A：x+36A：-108=0.

36+77-

2dk21\2k2

则再，％是这个方程的两根，所以玉+匕二——IMN|二12-一（玉+%）=12-——

'3+4k2-3+4k

因为当比V—2而，或女226时»24,所以

pWN|=12—-逖==12--^—＜12—―-=—.当且仅当女=±246时等号成立。

1111

3+止4+4有4

k224

（ii）当左"＜攵＜%"，一2遍＜攵＜2指时，直线/与轨迹C的两个交点

例（士,%）”（%2，%）分别在£，G上，不妨设点M在G上，点N在C2上，

则由④⑤知，眼F|=6-；XJNF|=3+X2.

设直线AF与椭圆C,的另一交点为£（小,先）,则/＜x,,x2＜2.

可可=6—＜6—；/=怛日,"可=3+々＜3+2=|AF|,

所以|MN|=MF|+|N曰＜怛尸|+|力曰=|AE］。而点A,E都在G上，

且疑=一2八，由（i）知卜耳=岑，所以|"N|＜詈

若直线/的斜率不存在，则玉=々=3,此时

|MN|=12—g（x+%）=9〈詈.综上所述，线段MN长度的最大值为*.

21.解：（I）设满足题设的等比数列为{4},则a„=q'-',于是

k，-«„-i|=I，"'一2匕》2.

因此&+i—%I+1a”一4-iI+…+14—a"=|q—［（i+|q|+|q|+…+b|）-

因为|同＜1,所以l+|q|+,「+…+|/1=宜_＜占，即

1一⑼1一囿

%+1一%|+|凡一%」+…+1<卜-"

1-W

故首项为1,公比为q（同＜1）的等比数列是B-数歹人

(11)命题1：若数列｛x,,｝是B-数列，则数列⑸｝是B-数列.此命题为假命题。

事实上，设x“=l,〃eN・，易知数列｛x,J是B-数列，但5“=〃，

+…+应一周=〃.

由〃的任意性知，数列⑸｝不是B-数列。

命题2：若数列｛S“｝是B-数列，则数列｛4｝是B-数列.此命题为真命题.

事实上，因为数列｛S,,｝是B-数列，所以存在正数M,对任意的“cN•，有

S,J+|S“一S“」+…+|邑—SjWM,

即|加|+同+…+同于是

I.+1_xj+k"_X“_J+…+,2—xj

4kM+2|x“|+2kM+“.+2同+同42M+闻,

所以数列｛x,J是B-数列。

(in)若数列｛为｝,｛2｝是8-数列，则存在正数〃”朋2,对任意的〃eN•，有

K+l-an\+\an-an-l\+'"+\a2-ai\-Ml；

b+b

k+1~n\\n~4-11+…+卜2-414M2,

注意到㈤=-an_1+a,-+an_2+---+a2-al+a1|

引。"-+-%以+…+|。2-+WM+|aj.

同理，同4必+时.记&=M+同,K2=M2+\b2\,

则有.+色+i一。也|=,"+也用一。也+1+川一。也|

引加||a„+1-a„|+同僚।-b,JWa|an+1-«„|+^iK+1

因此兄+也用一。也|+,也一4一也11+…+|22-她|

--(|a“+i-%|“一％」+…+E-41)

+K(1%-2I+■—%+••+恒—用)W&M+匕%•故数列｛。,凡｝是8-数列.

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知集合用={1,2,3},N={2,3,4},则

A.M=NB.NjM

C.MAN={2,3}D.MUN={1,4}

2.下列命题中的假命题是

A.VxeR,2'-|>0B.VxeN*,(x-1)2>0

C.GR,1gx<lD.R,tanx=2

X=-1—t,

3.极坐标方程P=cos6和参数方程・（方为参数）所表示的图形分别是

y=2+3f

A.圆、直线B..直线、圆C.圆、圆D.直线、直线

4.在RtA48C中,ZC=90°,AC=4,则ABAC等于

A.一16B.-8C.8D.16

5.等于

A.—2In2B.21n2C.—In2D.In2

6..在AABC中,角4B,。所对的边长分别为a,b,若NC=120°,c=6a,则

A.a>bB.a<bC.srbD.d与力的大小关系不能确定

7.在某种信息传输过程中，用4个数字的•个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同

排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为

A.10B.11C.12D.15

8.用min{“S}表示两数中的最小值.若函数/（x）=min{阵k+理的图像关于直线

x=对称，则/的值为

2

A.-2B.2C.-1D.1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9.已知一种材料的最佳加入量在

110g到210g之间.若用0.618法安排实验，则第一次试点的加

入量可以是g.

10.如图1所示，过。外一点P作一条直线与。交于A,B

两点.已知PA=2,点P到。的切线长PT=4,则弦AB的长

为________

11.在区间［-1,2］上随机取一个数X,则卜区1的概率为

12.图2是求『+2?+3?+…+10()2的值的程序框图，则正整数“=

13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20cn?的几何体的三视图，则力=cm.

14.过抛物线V=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,8两点，在

x轴上的正射影分别为2C.若梯形A8C。的面积为12血，贝Up=.

15.若数列｛%,｝满足：对任意的〃eN*,只有有限个正整数机使得金〈〃成立，记这样的

用的个数为(aj,则得到一个新数冽｛(%)*｝.例如，若数列｛%｝是1,2,3…，〃，…，则

数列｛("“)*｝是0,1,2,…，.已知对任意的〃wN*,an=n~,贝ij(“5)*=，

((«„)*)*=•

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=>/3sin2x-2sin2x.

(I)求函数/(x)的最大值；

(II)求函数/(x)的零点的集合

17.(本小题满分12分)

图4是某城后通过抽样得到的居民某年的月均用水量

(单位：吨)的频率分布直方图.

(I)求直方图中x的值.

(II)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居

民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居

民数X的分布列和数学期望.

18.(本小题满分12分)

如图5所示，在正方体ABCD—A|B|GD中，E是棱DD1的中点.

(I)求直线BE的平面ABB|A|所成的角的正弦值；

(H)在棱C1D上是否存在一点F,使BF〃平面A|BE?证明你

的结论.

19.(本小题满分13分)

为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的4,8两点各建一个考察基地.视

冰川面为平面形，以过46两点的直线为x轴，线段16的垂直,平分线为y轴建立平面直

角坐标系(图6).在直线x=2的右侧，考察范围为到点6的距离不超过65km的区域;

5

在直线x=2的左侧，考察范围为到46两点的

距离之和不超过475km的区域.

(I)求考察区域边界曲线的方程；

(0)如图6所示，设线段68，64是冰川的

部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时,

边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，

第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一

年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

20.(本小题满分13分)

1知函数/(x)=Y+bx+c(b,ceR),对任意的xeR，恒有/'(x)<f(x).

(I)证明：当x»0时，/(x)<(x+c)2；

(H)若对满足题设条件的任意b,c,不等式/(c)-/S)WM(c2—〃)恒成立，求M

的最小值.

21.(本小题满分13分)

数列｛为｝(〃€N*)中，％=。，。川是函数力(x)=；d—3(3〃,+〃2.2+3〃24/的极

小值点.

(I)当a=0时，求通项4“；

(II)是否存在。，使数列｛%｝是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在,

请说明理山.

参考答案

一、选择题

1.C2.B.3.A4.D5.D6.A7.B8.D

二、填空题

9.171.8或“148.210.611.-212.10013.414.215.2n2

3

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小崎I分12分)

解(I)由为/(x)=&sin2x-(l-cos2x)=asin(2x+m-l,

6

7T7T-TT

所以，当2x+—=2发开+—,即工=上不+―(上eZ)时，函数/(x)取得最大值1.

626

7T1

(II)解法1：由(I)及/(x)=0得sin(2x+0)=±,所以

62

2x4--=2k7r+—或2X+2=2ATT+空，即无=七¥,或彳=ATT+2.

66663

故函数了(x)的零点的集合为1x|x=匕5或工=上不+；,上eZ>.

解法2：由/(x)=0得2Gsinxcosx=2sin?x,于是sinx=0,或JJcosx=sinx

即tanx=V3.

由sinx=0可知x=k7r；由tanx=G可知x=k兀+2.

3

故函数/(%)的零点的集合为=k兀，或x=k兀+鼻,kGZ>.

17.(本小题满分12分)

解：(I)依题意及频率分布直方图知,0.02+0・1+%+0・37+0・39=1,解得％=0.12.

(II)由题意知,XB(3,0.1).

因此P(X=0)=C；x0.93=0.729,尸(X=1)=C；x0.1x0.92=0.243,

P(X=2)=C；x0.V*o.9=0.027,P(X=3)=C；x0.f=0.001.

故随机变量X的分布列为

X0123

p0.7290.2430.0270.001

X的数学期望为EX=3x0.1=0.3.

18.(本小题满分12分)

解1：设正方体的棱长为1.如图所示，以AB,AD,AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系.

(I)依题意，得5(1,0,0),4(0,0,0),0(0,1,0),

所以1),AD=(0,1,0).

在正方体ABC。—4中，因为平面ABB4,所以

AD是平面人的一个法向量，设直线BE和平面AB4A

所成的角为6,则

阿西12

sin0=।11——।=--=-.

MM|xi3

2

即直线BE和平面ABB,\所成的角的正弦值为y.

(II)依题意，得4(0,0，1)，朋1=(7,0」)，刑=

设％=(x,y,z)是平面4Asl的一个法向量，则由阀Q?4==0,得

-x+z=0,

,1-

-x+y+—z-0.

所以x=z，尸三gz.取z=2,得万=(2,1,2).

设F是棱GA上的点，贝1］尸。』,1)(04，=1)・又用(1,0,1)，所以

瓦币=(f—1,1,0).而用FZ平面4BE，于是

———.1

87〃平面4乃£087〃=0=Q—1,1,0)(2,l,2)=0=2(f—1)+1=0=，=5=F

为GR的中点，这说明在棱G2上存在点F(G2的中点)，使用产〃平面ABE.

解2：(I)如图(a)所示，取441的中点M,连结EM,BM.因为E是。A的中点，四边形

ADD14为正方形，所以EM〃AD.

又在正方体ABCD-481clz中，AD_L平面幺班：所以EM_1_平面四44从而BM

为直线BE在平面4苏M上的射歌AEBM为BE和平面ABBXAX所成的角.

设正方体的棱长为2.则EM=AD=2,BE=V22+22+12=3.于是,

在次口8协f中，smAEBM=­=-.

BE3

2

即直线BE和平面AB44所成的角的正弦值为y.

（II）在棱G2上存在点F,使87〃平面48E.

事实上，如图（b）所示，分别取G2和CD的中点F,G,连结EG,BG,CA，FG.因

42〃6c1〃6c，且AQ|=,所以四边形48cA是平行四边形，因此.又

E,G分别为RO,CD的中点，所以EG〃£）C，从而EG〃Ag.这说明&,B,G,E共面,

所以8Gu平面A18E.

因四边形GCOA与q8CG皆为正方形，F,G分别为GQ和CD的中点，所以

FG//C^//B,B,且/G=GC=46,因此四边形B/GR是平行四边形，所以B|F〃6G.

而B|F<z平面A]BE,BGu平面A|BE,故耳尸〃平面A/E.

19.（本小题满分13分）

解：（I）设边界曲线上点P的坐标为（x,y）,

当xN2时，由题意知（x-4>+y2=史.

当x<2时，由|PA|+|PB|=4后知，点P在以A,B为焦点，长轴长为2a=46的椭圆

上.此时短半轴长b=J(2V5)2-42=2.因而其方程为土+上=1.

v204

故考察区域边界曲线(如图)的方程为

2人22

q：(x-4)-+V=《(xN2)和。2:三+?=1(》<2)•

(II)设过点见《的直线为/厂过点［的直线为4,则直线小L的方程分别为

y=V5x+14,y=6.

设直线/平行于直线4,其方程为丁=/芯+冽，代入椭圆方程，+£=1,消去_y，

得16，+10/尔+5(/-4)=0.

由口=100x3w2—4xl6x5(w2—4)=0,解得冽=8,或掰=—8.

从图中可以看出，当冽=8时，直线/与J的公共点到直线上】的距离最近，此时直线?的方

程为y=Gx+8,/与4之间的距离为4=叱图=3.

V1+3

又直线4到G和。2的最短距离小=6-二二，而d'>3,所以考察区域边界到冰川边界线

的最短距离为3.

设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为〃年，则山题设及等比数列求和公式，

02(2"-1)

得>3,所以〃24.

2-1

故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.

20.(本小题满分13分)

解：(I)易知/'(X)=2x+b.山题设，对任意的xeR,2x+bWx?+bx+c,即

/+(8—2)x+c—620恒成立，所以(6—2)2—4(c—b)K0,从而cN—+L

4

于是cNl,且cN2椁1因此2c-b=c+(c-6)>0.

故当x20时，有(x+c)2-/(x)=(2c-/?)x+c(c-l)>0.即当xN0时、f(x)<(x+c)2.

(H)由(I)知，c>[6|.

当C剂时，有MN名坐

11c-b1c2-^b+c

令£=2,贝ij一1<£<1,£1^=2—一1-而函数8«)=2—工(一1<£<1)的值域

c3+c1+Z1+Z

'-因此，当c>|同时，M的取值集合为I，+00^

当,=网时，由(I)知，b=±2,c=2.此时/(c)—/(")=—8或。c2-b2^0,

从而/(c)—/3)«5(c2—b2)恒成立综上所述，M的最小值为

21.(本小题满分13分)

2222

解：易知=x-(3a,(+n)x+3nan=(x-3a„)(x-n).

2

令E：(x)=0，得X[=3a“,x2=n.

⑴若%“</,则当无<34“时,£：(x)〉0",(x)单调递增；

当<x<“2时，£；(x)<0,£,(x)单调递减；当x>〃2时，£：。)>0,力(%)单调递增.

故力(用在了=〃2取得极小值.

<2>卷3。->>a2»仿(1>可何・在k=取都极刁、佰

<3>君卯JJV820*8无极值

a

(I>a=O•a1=O・3ort<l由<1>5m•=尸=1.

国为=3v・贝II由<1)知.=22=4

2

30cs=12>3*贝*J(2)矢0*04=30淳=3x4.

国为・由知.a

R304=36>4?DW<2)as«3«4-3x-4

由此猜测：当〃23时，%=4x3"T.下面先用数学归纳法证明：当〃23时，3«„>n2.

事实上，当〃=3时，由前面的讨论知结论成立.

假设当”=上伙23）时，3%>%2成立，则由（2）知，4+|=3%>公，从而

222

3ak+l-（k+l）>3k-（k+r）=2k（k-2）+2k-l>0,

所以>伏+1）2.故当“N3时，3%>〃2成立.

于是由（2）知，当“23时，氏+1=3《,，而%=4,因此%=4X3"£.

综上所述，当a=0时，％=0,々=1，%=4x3"“〃23）.

（II）存在a,使数列｛%｝是等比数列.

事实上，由（2）知,若对任意的〃,都有3%>〃2,则%+|=3%.即数列｛《,｝是首项为a,

公比为3的等比数列，且=a3T.

2

而要使34〉〃2,即。3">"2对一切〃wN*都成立，只需a>j对一切“wN*都成立.

n2141

记6=一，则a=—也=—也=—,•••.

3"132933

令则了=（（2彳一/1113）<《（2》一/）.因此，当xN2时，y'<0,从而函数

y=9在［2,+8）上单调递减，故当"22时，数列｛4单调递减，即数列｛4｝中最大项

为与=1.于是当a时，必有白.这说明，当46偿,400）时，数列｛.｝是等比数列.

444C

当以=—时，可得/=—,以2=—・而%?=4=2,,由（3）知，力（工）无极值，不合题意.

当"〈以<5时，可得%=以,%=3a,以3=4,以4=12,…，数列｛%｝不是等比数列.

当以二g时，3以=1=1',由（3）知，工（X）无极值，不合题意

当a<；时，可得％=a,。？=1,%=4,%=12,…，数歹ij｛a〃｝不是等比数列.

综上所述，存在“，使数列｛为｝是等比数列，且。的取值范围为伐,+oo）.

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分

150分。

参考公式：(1)P(8]A)=尸''),其中A,8为两个事件，且P(A)>0,

P(A)

(2)柱体体积公式V=S%,其中5为底面面积，/?为高。

(3)球的体积公式其中R为求的半径。

3

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的。

1.若a,beR,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,贝ij()

A.a-l,h—IB.a——l,b—1C.a——\,b=—1D.a-\,b—