高考数学真题分类汇编10立体几何

1.12015高考浙江，文4】设a,4是两个不同的平面，/,相是两条不同的直线，且/ua,

tnu0()

A.若/，夕，则a_L夕B.若aL夕,则/，加

C.若〃/夕，则a〃夕D.若a〃尸，则〃/〃？

【答案】A

【解析】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时,

/,〃?可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，〃/月时，体力可以相交；选项D中，

a〃夕时，/,/〃也可以异面.故选A.

【考点定位】直线、平面的位置关系.

【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的

位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题,

重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.

2.12015高考新课标1,文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的

数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,

问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为

一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆

的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆

周率约为3,估算出堆放的米有()

(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为八则1x2x3r=8,所以r=3,所以米堆的体积为

43

2

lxlx3x(—)x5=—,故堆放的米约为型+1.62弋22,故选B.

43399

【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式

【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到

米堆是,圆锥，底面周长是两个底面半径与工圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的

44

方程，解出底面半径，是基础题.

3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是

（）

32

A.8cm3B.12cm3C.—cm3

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2,高为2的正

13?

四棱锥的组合体，故其体积为V=23++x2?x2=土cwP.故选c.

33

【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.

【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的

结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间

想象能力和基本的运算能力.

4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正视图恻视图

13万

(A)—F27r(B)(D)

3~6~T

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1,高为2的圆柱，再加上一个半圆锥:

11Q

其底面半径为1,高也为1,构成的一个组合体，故其体积为%X12x2+±X7x/xl=!?，

66

故选B.

【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.

【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利

用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.

5.12015高考陕西，文5］一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.3兀B.44C.2乃+4〃3乃+4

【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为

Txlx2+'x乃xFx2+2x2=3乃+4,故答案选。

2

【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.

【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及儿何体的表面积，意在考查考生的识图能力、

空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体

各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.

6.【2015高考广东，文6】若直线4和4是异面直线，4在平面a内，4在平面力内，/是平

面a与平面尸的交线，则下列命题正确的是（）

A./至少与小4中的一条相交B./与小4都相交

C./至多与4,4中的一条相交D./与4,4都不相交

【答案】A

【解析】若直线、和4是异面直线，4在平面a内，4在平面£内，/是平面a与平面万的交

线，则/至少与小4中的一条相交，故选A.

【考点定位】空间点、线、面的位置关系.

【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题.解题时一定要注

意选项中的重要字眼“至少”、“至多”，否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置

关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，

也可作必要的合情推理.

7.12015高考浙江，文7】如图，斜线段AB与平面a所成的角为60,B为斜足，平面a上

的动点P满足NPAB=30,则点P的轨迹是()

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的

一支

【答案】C

【解析】

由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆

锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.

【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.

【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据

给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平

面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线

的定义的理解.

8.12015高考湖北，文5】表示空间中的两条直线，若。：44是异面直线；°：44不相

交，贝I()

A.0是1?的充分条件，但不是。的必要条件

B.0是。的必要条件，但不是。的充分条件

C.。是q的充分必要条件

D.0既不是q的充分条件，也不是0的必要条件

【答案】A.

【解析】若。：44是异面直线，由异面直线的定义知，44不相交，所以命题。：44不相交

成立，即p是q的充分条件；反过来，若°：4/不相交，贝1〃，4可能平行，也可能异面，所

以不能推出/„/2是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选A.

【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.

【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关

系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件,正确理解异面直线的定义,

注意考虑问题的全面性、准确性.

9、【2015高考新课标1,文11】圆柱被一个平面截去一部分

后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中

的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为

16+201,则r=()

(A)1(B)2

(C)4(D)8

俯视图

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半

径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为，x4乃/+乃「*2/+乃/+2rx2r=5万/+4/=16+

2

20万，解得r=2,故选B.

【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题,

先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正,

宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.

10.[2015高考福建，文9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体

的表面积等于（）

A.8+20B.H+2V2C.14+2后D.15

陀生图

【答案】B

【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，

高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2,直角腰长为1,

斜腰为正.底面积为2x,x3=3,侧面积为2+2+4+2及=8+20,

2

所以该几何体的表面积为11+20,故选B.

【考点定位】三视图和表面积.

【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几

何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其

组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形

法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题.

11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()

(A)(B)()2叵兀()兀

33

【答案】B

【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为2及，斜边上的高为近，所得旋转体为

同底等高的全等圆锥，所以，其体积为g万x(J5)2x20=^^，，故选3.

【考点定位】L旋转体的几何特征；2.几何体的体积.

【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解

所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.

本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的

空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.

12.[2015高考湖南，文10]某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一

个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材

料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()

«8万口8,24(72-I)2口8(&-

927乃7171

1

俯视图

【答案】A

■yr2一〃

【解析】由题可得,问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示,则有，=h:/=2-2%

所以长方体体积为/&={2幻12-20=4不"（2-2幻=4|'士士三|,当且仅当

七n/•2•

32

2个二16

x=2-2x：即x=：时，等号成立，故利用率为「士一=—,故选A.

9t

31p9

J

【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体

【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”

是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.

求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补

体法、转化法等方法求体积.

13.12015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）

A.IB.6c.V3D.2

侧（左）视图

俯视图

【答案】c

【解析】四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知，SC_L平面ABCD,SA是四棱锥最长的棱，

S/i=7SC2+AC2=y/sC2+AB2+BC2=V3,故选C.

【考点定位】三视图.

【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题.解题时一定要抓住三视图的特点，否

则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出儿何体中最长棱的

棱长即可.

14【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

正（主）视图例（左）视图

（力）1+V3（6）1+20（O2+73（〃）2&

【答案】C

【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示:

其中侧面21cL底面力比1，且AP4C也A4BC,由三视图中所给数据可知：

PA=PC=A8=8C=痣，取AC中点0,连接P0,30,则RM0B中，

n।

「。=80=1=＞尸3=亚二S=2-J・2+--2・2=2+Q,故选C

42

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.

【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几

何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基

本运算能力.

【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为。，且其体积为16百，则a=.

【答案】4

।反

【解析】依题意，一xaxax〕Lxa=16在，解得。=4.

22

【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.

【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.

边长为。的正三角形的面积为二■〃上

4

15.12015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3

【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积

18几

^2x-xnxl+7ix2=—(m1).

【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何

题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三

视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

16.12015高考四川，文14］在三棱住/比■一45G中，N物C=90°,其正视图和侧视图都是

边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点弘N,。分别是06,BC,

8G的中点，则三棱锥产一4/V的体积是.

【答案】—

24

【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的

等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为，

2

如图，因为皿/月V,故44〃面9M

故三棱锥一一4历¥与三棱锥〃一4即体积相等,

三棱锥产一4眼的底面积是三棱锥底面积的一，高为1

4

故三棱锥。一4，眦的体积为-x-x-=—

32424

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥

的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.

【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置,

结合条件，三棱锥。一4,肺的体积可以直接计算，但转换为三棱锥~和加的体积，使得计算

更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.

17.[2015高考安徽，文19]如图，三棱锥I^ABC中，用_L平面ABC,

PA=1,A6=1,AC=2,ZBAC=60°.

(I)求三棱锥尸/比1的体积；

PM

(II)证明：在线段也上存在点M使得并求——的值.

MC3

【解析】

(I)解：由题设A6=l,AC=2,NBAC=60°

iA

可得SMsc=3ABACsin60°=5

由PAJ_面ABC

可知PA是三棱锥P—ABC的高，又PA=1

所以三棱锥P-ABC的体积V=--S^-PA=—

3BC6

(II)iiE：在平面ABC内，过点、8作BN上AC,垂足为N,过N作MN〃PA交PC于M,

连接BM.

由PA_1面A6C知PALAC,所以MNLAC.由于BNcMN=N,故AC上面M3N,

叉BMu面MBN,所以AC,8M.

13

在直角ABAN中，AN=AB•cosNBAC=—,从而NC=AC—AN.由MN〃PA,得

22

PM_AN

~MC~~NC~3'

【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第(II)

问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想

象能力、构造能力和运算能力.

18.12015高考北京，文18](本小题满分14分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB1

平面ABC,AVAB为等边三角形，

AC_LBC且AC=BC=0,O,M分别为AB,VA的中点.

(I)求证：VB〃平面M0C；

(II)求证：平面MOCL平面VAB；

(III)求三棱锥V—ABC的体积.

V

【答案】（I）证明详见解析：（II）证明详见解析：（in）—.

3

【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体

积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计

算能力.（D在三角形ABV中，利用中位线的性质得。ATb揖，最后直接利用线面平行的判定得到结论;

（H）先在三角形ABC中得到。。,再利用面面垂直的性质得。C_L平面VAB,最后利用面面垂直

的判定得出结论；（HD将三棱锥进行等体积转化，利用尸一；十=4一1sc，先求出三角形VAB的面积，由

于。平面VAB,所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.

试题解析：（I）因为。，迎分别为AB,\飞的中点，

所以。3九；*3.

又因为「3仁平面MOC,

所以平面MOC.

（II）因为AC=BC,。为AB的中点，

所以。CLAB.

又因为平面VAB±平面ABC,且。Cu平面ABC,

所以0C1平面VAB.

所以平面MOC_L平面VAB.

（Ill）在等腰直角三角形ACS中，AC=BC=6,

所以A8=2,OC=1.

所以等边三角形VAB的面积SWAB=也.

又因为0C,平面VAB,

所以三棱锥C-VAB的体积等于gX。。XSAMB=y--

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，

n

所以三棱锥V-ABC的体积为—.

3

考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公

式.

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题.证明线

面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边

形.证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直

得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误.求几何体的体积的方法主

要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法.

19.12015高考福建，文20］如图，A8是圆。的直径，点C是圆。上异于A,8的点，PO垂

直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.

（I）若。为线段AC的中点，求证AC1平面PDO：

（II）求三棱锥P-A6c体积的最大值；

（III）若8C=拒，点E在线段上，求CE+OE的最小值.

【答案】（I）详见解析；（II）-；（in）°+瓜

32

【解析】解法一：（I）在AAOC中，因为OA=OC,D为AC的中点,

所以ACLOD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以POLAC.

因为DOPO=O,所以AC_L平面PDO.

(II)因为点C在圆O上，

所以当COLAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.

又AB=2,所以AABC面积的最大值为，x2xl=l.

2

又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为1xl=-.

(HI)在APOB中，PO=OB=1,NPOB=90,所以PB==0.

同理PC=J^,所以PB=PC=BC.

在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，如图

所示.

当O,E,C'共线时，CE+OE取得最小值.

又因为OP=OB,C'P=C'B,所以0C'垂直平分PB,

即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'=Y2+，5=在上四,

222

亦即CE+0E的最小值为叵N5.

解法二：(I)、(II)同解法一.

(HI)在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90,

所以NOPB=45,PB=A/12+12=^2.同理PC=夜.

所以PB=PC=BC,所以NCPB=60.

在三棱锥P—ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，如图

所示.

当O,E,C'共线时，CE+OE取得最小值.

所以在AOC'P中，由余弦定理得：

OC"=1+2-2xlx&xcos(45+60)

=]+2一2臼也」一也xg

(2222)

=2+5/3.

从而0C'=也+百=立+池.

2

所以CE+0E的最小值为YfS.

2

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积.

【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用

面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，

当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不

确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空

间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离

最短求解.

20.12015高考广东，文18](本小题满分14分)如图3,三角形PDC所在的平面与长方形

ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,

AB=6,BC=3.

(1)证明：BC〃平面PDA；

(2)证明：BC1PD；

(3)求点C到平面PDA的距离.

H

用3

377

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析：（3）

2

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是长方形可证BC〃AD,进而可证BC〃平面PDA；（2）先

证BCLCD,再证BC,平面PDC,进而可证BCLPD；（3）取CD的中点E,连结AE

和PE,先证PEJ,平面ABCD,再设点C到平面PDA的距离为〃，利用

h

V:枝椎C_PDA=V三极锥P_ACD可得的值，进而可得点C到平面PDA的距离•

试题解析：（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC〃AD,因为BC2平面PDA,ADu

平面PDA,所以BC〃平面PDA

（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC_LCD,因为平面PDC_L平面ABCD,平面

PDC平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC_L平面PDC,因为PDu平面

PDC,所以BC1PD

（3）取CD的中点E,连结AE和PE,因为PD=PC,所以PELCD,在RlAPED中,

PE=VPD2-DE2

="2-32=不，因为平面PDCL平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,PEu平

面PDC,所以PE，平面ABCD,由（2）知：BCL平面PDC,由（1）知：BC//AD,

所以ADJ_平面PDC,因为PDu平面PDC,所以ADJ.PD,设点C到平面PDA的距离

为人，因为V,孩锥c-PDA=V滋雌p-ACD所以,即

CM—x3x6xsfj

/,=SAACD-PE=2亘,所以点C到平面PDA的距离是短

SAPDA-X3X422

2

【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中

档题.证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形

的中位线和构造平行四边形.证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面

垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误.点

到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决.

21.12015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.在如图所示的阳马

中，侧棱底面ABC。，且尸。=CD,点E是PC的中点，连接力及8DBE.

(I)证明：DE1平面PBC.试判断四面体EBCD是

否为鳖牖，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由;

V

(II)记阳马P-A8CQ的体积为乂，四面体EBCQ的体积为％,求/的值.

【答案】(I)因为PO1•底面A8CO,所以由底面ABC"为长方形，有BCLCD,

而PO€7)=0,所以BCJ,平面尸C£).DEu平面PCQ,所以BC_L£)E.又因为PO=CO,

点后是/^?的中点，所以。ELPC.而尸CBC=C,所以。平面P8C.四面体EBCD是

一个鳖腌；(II)匕=4.

匕

【解析】(I)因为PZ5_L底面ABC。，所以PCJ.BC.由底面ABC。为长方形，有BCLCD,

而POCZ)=Q,所以BC_L平面PCO.。后匚平面/^/^所以^^力仁又因为PD=CD,

点E是PC的中点，所以OE_LPC.而PCBC=C,所以。E_L平面P8C,由8C_L平面

PCD,平面尸BC,可知四面体EBCO的四个面都是直角三角形，即四面体EBCQ是一

个鳖牖，其四个面的直角分别是NBCD/BCE,NDEC,NDEB.

(II)由已知，尸。是阳马P-ABC3的高，所以匕=1SABCD"Q='BC-CQP£＞；由(I)

13t\D\-u3

知，DE是鳖腌D-BCE的高，8C_LCE,所以匕=~S^CE•QE=CE-£)E.在Rt△PDC

36

中，因为PD=CD,点E是尸C的中点，所以DE=CE=—CD,于是

2

V2-BCCEDE

6

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何

体的体积，属中高档题.

【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是

考查线面垂直与简单几何体的体枳计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间

的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解.结

合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体

几何注入了新的活力.

22.12015高考湖南，文18](本小题满分12分)如图4,直三棱柱ABC-44G的底面是

边长为2的正三角形，分别是BC,CG的中点。

(I)证明：平面AEF1平面B.BCC,；

(II)若直线AC与平面4AB耳所成的角为45,求三棱锥P—AEC的体积。

【答案】(I)略；(II)—.

12

【解析】

试题分析：(I)首先证明34，AE1BC,得到平面耳BCG，利用面面垂直

的判定与性质定理可得平面AEF±平面B}BCC}；(II)设AB的中点为D,证明直线ZCA.D

直线4c与平面4AB4所成的角，由题设知NCAO=45,求出棱锥的高与底面面积即可

求解几何体的体积.

试题解析：(I)如图，因为三棱柱ABC-44G是直三棱柱，

所以4七184，又E是正三角形A6C的边的中点，

所以因此AEJ.平面4BCG，而AEu平面AEF,

所以平面AEF1平面B.BCC)。

(II)设A8的中点为。，连接ARC。，因为A4BC是正三角形，所以CO1AB,又三

棱柱ABC—4与G是直三棱柱，所以CDLAA，因此COJ_平面4A耳8,于是NC4。直

线AC与平面AA84所成的角，由题设知NC4Q=45,

所以4。=8=曰AB=百，

在心澳4。中，AA,=^\D--AD1=V3^1=V2,所以

故三棱锥/一AEC的体积V=LSA£CXFC=LXX3X42=X5。

3832212

【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质

【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形

中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”“线

面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展

开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂

直.

23.【2015高考山东，文18］如图，三棱台OEE-A6C中，AB=2DE,G,”分别为

AC,3c的中点.

(I)求证：BD//平面FGH；

(H)若AB18C,求证：平面BCOJ_平面EG”.

【答案】证明见解析

【解析】

(I)证法一：连接。G,CD设COcGF=M，连接，在三棱台。EF—ABC中,

AB=2DE,G分别为AC的中点，可得。///GC,。/=GC,所以四边形。FCG是平行

四边形，则M为CO的中点，又”是3c的中点，所以HMi/BD,

又“Mu平面EG”，平面FG"，所以6。//平面/G”.

证法二：在三棱台DEF—ABC中，由=为3C的中点，

可得BH//EF,BH=EF,所以HBEF为平行四边形,可得BE//HF.

在A4BC中，G,H分别为AC,3c的中点，

所以GH//AB,又GHcHF=H,

所以平面FGH//平面ABED,

因为BOu平面A8E0,

所以B。//平面FG”.

(II)证明：连接因为G〃分别为AG8c的中点，所以GH//AB,由ABJ.BC,得

GH1BC,又“为BC的中点，所以所//"。,后口=”。,因此四边形所。”是平行四边

形，所以CF//HE.

又CF1BC,所以

又HE,GHu平面EGH,HEcGH=H,所以8C,平面EG",

又8Cu平面BCD,所以平面8co，平面EGH.

【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.

【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的

平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键

是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一

步得到线面关系、面面关系.

本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关

系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函

数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.

24.【2015高考陕西，文18］如图1,在直角梯形中，

冗1

AD/IBC,ZBAD=-,AB=BC=-AD=a,E是的中点，。是。。与BE的交点，

22

将A4BE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥％-BCDE.

(I)证明：平面AOC；

(II)当平面平面8CQE时，四棱锥A—8CDE的体积为360,求a的值.

Ai⑷

图1图2

【答案】（D证明略，详见解析；（H）a=6.

【解析】

1

试题分析：（D在图1中，因为A3=8C=上AO=a,E是A0的中点，ABAD=-,所

22

以四边形ABCE是正方形，故又在图2中，BE1^0,BELOC,从而

平面A0C,又DEI/BC且DE=BC,所以CD〃BE,即可证得平面

A。。；

（II）由己知，平面A]E1.平面BCDE,且平面A8E平面BCDE=3E,又由（I）

知，\01BE,所以4。J_平面3COE,即4。是四棱锥4—BCOE的高，易求得

平行四边形BCDE面积S=BCAB=a2,从而四棱锥/I,-BCDE的为

V=-xSxA,O=—a3,由也。3=36&,得a=6.

366

1JI

试题解析：（I）在图1中，因为AB=BC=—AO=a,E是A。的中点NB4O=—,所以

22

BE±AC,

即在图2中，BEA.A{0,BEL0C

从而BE_L平面A。。

又CDHBE

所以CQ,平面AQC.

（H）由已知，平面ABEJ,平面BCDE,

且平面AfE平面BCDE=BE

又由（I）知，AOIBE,所以AOJ_平面BCDE,

即4。是四棱锥4—BCDE的高,

由图1可知,A.O^—AB—a,平行四边形3CDE面积S=8C-A6=a2

122

从而四棱锥A—BCDE的为

V=—x5xA,0=—xa2x^-a=®-a',

3'326

s

由注。3=360,得&=6.

6

【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积.

【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定

定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、

割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

25.[2015高考四川，文18]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所

示.

（I）请按字母尸，G,〃标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）

（II）判断平面颇与平面1（7/的位置关系.并说明你的结论.

（ni）证明：直线分,平面戚

（H）平面戚〃平面1以证明如下

因为ABCD—EFGH为正方钵,所以BC〃FG,BC=FG

又FG〃EH,FG=EH,所以BC〃EH,BC=EH

于是以潮为平行四边形

所以BE//CH

又C7/U平面ACH,BEU平面ACII,

所以6£〃平面ACH

同理庞〃平面ACH

又BECBG=B

所以平面上〃平面ACH

（III）连接力

因为ABCD-EFGH为正方悻,所以ZW_L平面EFGH

因为£GU平面朗阳，所以加

又EG工FH,EGCFH=0,所以£G_L平面切必

又DFU平面BFDH,所以DKLEG

同理勿U6G

又EGCBG=G

所以勿北平面BEG.

【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基

础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.

【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的

证明一定要详细写出所有步骤，列举（推证）出所有必备的条件，如在（H）中证明两个平面平

行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，（HI）中证明线面垂

直，也不能忘掉“EGCBG=G”这个条件.属于中档题.

26.12015高考新课标1,文18］（本小题满分12分）如图四边形48徵为菱形，G为AC与BD

交点，平面ABC。，

（I）证明：平面AEC,平面8EO；

（II）若乙430=120,AELEC,三棱锥E—ACZ）的体积为如，求该三棱锥的侧面积.

3

【答案】（I）见解析（II）3+275

【解析】

试题分析：（I）由四边形46位为菱形知A0BD,由BE入平面ABCD知ACABE,由线面垂直

判定定理知平面BED,由面面垂直的判定定理知平面AECJ.平面BE。；（11）设4代工，

通过解直角三角形将/G、GC、GB、。用X表示出来，在比1中，用*表示氏；，在RtDEBG

中，用x表示旗，根据条件三棱锥E-ACD的体积为逅求出了,即可求出三棱锥E-ACD

3

的侧面积.

试题解析：（I）因为四边形山政为菱形，所以43BD,

因为应A平面ABCD,所以ACKBE,故ACK平面BED.

又ACI平面AEC,所以平面AEC八平面BED

（H）设1代x,在菱形力腼中，由EM路120°,可得力作宓=火X,阶阶土.

22

因为力留用所以在RfD/l星中，可得叱Y-x.

2

5

由比1人平面4?必，知D函;为直角三角形，可得游Jx.

2

由已知得，三棱锥切的体积瞑“8=g*AC答/=半故》=2

从而可得/后除吩卡.

所以DS4C的面积为3,DEAD的面积与DM的面积均为6.

故三棱