高考数学分类汇编（高考真题+模拟新题）概率理

K单元概率

K1随机事件的概率

20[2014•湖北卷]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50

年的水文资料显示，水年△源量才（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿

立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35

年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年

的年入流量相互独立.

⑴求未来4年中，至冬有1年的年入流量超过120的概率.

⑵水电站希望安装而展电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量才

限制，并有如下关系：

年入流量才40</8080W辰120力120

发电机最多

123

可运行台数

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损

800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

20.解：（1）依题意，n=P（40CK80）=丘=0.2,

uU

35

R=〃（80W后120）=TT=0.7,

bl）

p=P（A>120）=­=0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p=Cj（l-R）4+Cl（l-A）3P3=0.9!+4X0.93X0.1=0.9477.

（2）记水电站年总利润为，（单位：万元）.

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Q5000,

6（力=5000X1=5000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当40</80时，一台发电机运行，此时-5000-800=4200,因此。”=4200）

=夕（40<*80）=口=0.2；当庐80时，两台发电机运行，此时45000X2=10000,因此

A/=ioooo）=p（念80）=n+a=o.8.由此得y的分布列如下:

J,420010000

P0.20.8

所以，以。=4200X0.2+10000X0.8=8840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40〈*80时，一台发电机运行，此时7=5000-1600=3400,因此。（勺3400）

=P（40<*80）=R=0.2；当80W启120时,两台发电机运行，此时勺5000X2—800=9200,

因此尸（Y=9200）=P（80W庇120）=R=0.7；当心120时，三台发电机运行，此时7=5000X3

=15000,因此尸（片15000）=PQ>120）=R=0.1.由此得V的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以，MD=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

17.,,,[2014•四川卷]一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击

鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，

出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得一

200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为今且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X求才的分布列.

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加

反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

17.解：(1)乃可能的取值为10,20,100,-200.

根据题意，有

P(i=io)=c；x

夕(才=20)=CsX队。一式=4

产«=100)=成乂(£|3*(1-3

产(才=-200)=C?xQ°x^l-1y=1.

所以才的分布列为：

X1020100-200

331

P

8888

(2)设“第，盘游戏没有出现音乐”为事件4a=1,2,3),则

夕(4)=尸(4)=夕(4)=?(才=-200)=].

O

T

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-。(444)=1一I-右

511

512,

5]1

因此，玩三盘游戏至少有•盘舟现音乐的概率是

O1Z

⑶由⑴知，小的数学期望为^=10x1+20x1+100x1-200x1=-1.

ooo54

这表明，获得分数X的均值为负.

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.

K2古典概型

11.x[2014•广东卷]从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这

七个数的中位数是6的概率为.

11.1[解析]本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法.从0,1,2,3,

4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，有点。种方法，若七个数的中位数是6,则只需从0,

1,2,3,4,5中选三个，从7,8,9中选三个不同的数即可，有索森种方法.故这七个数

的中位数是6的概率-高=至

18.、、［2014•福建卷］为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行

奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所

标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：

(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；

(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额

尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一

个合适的设计，并说明理由.

18.解：(1)设顾客所获的奖励额为尤

(i)依题意，得P(K60)=-^r=-

即顾客所获的奖励额为60元的概率为

(ii)依题意，得才的所有可能取值为20,60.

夕(才=60)+

1

P(才=20)=R=5，

Ciz

即开的分布列为

X2060

p0.50.5

所以顾客所获的奖励额的期望为£(»=20X0.5+60X0.5=40(元).

(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可

能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为

60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，

因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,

50,50),记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,

20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为力，则用的分布列为

Xx2060100

121

p

636

121

X的期望为f(^)=20X-+60X-+100X-=60,

636

X的方差为〃(给=20-60)2X-+(60-60)2X-+(100-60)2X-=^-.

6363

对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为龙，则石的分布列为

X2406080

121

P

636

191

龙的期望为£(/6)=40X-+60X-+80X-=60,

636

191400

%的方差为Z?U)=(40-60)2X-+(60-60)2X-+(80-60)2X-=—

6363

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以

应该选择方案2.

5.［2014•新课标全国卷I］4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,

则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

5.D［解析］每位同学有2种选法，基本事件的总数为2'=16,其中周六、周日中有

97

一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1一六=1

168

6.［2014•陕西卷］从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点

的距离不小于该正方形边长的概率为()

1234

C

-一--

5B.55D.5

6.C［解析］利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有戊=

10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形

的4条边长和2条对角线长，共有6种.故所求概率—白=去

1U0

16.、、［2014•天津卷］某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学

中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现

从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相

同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设才为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量才的分布列和数学期望.

16.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件4则

z八C；•C?+d•C?49

山)=-S-=而

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为京.

60

(2)随机变量力的所有可能值为0,1,2,3.

内=左)=包沿-(-0,1,2,3),

Lio

所以随机变量才的分布列是

才0123

1131

p

62To30

随机变量乃的数学期望以①-0X^+1X1+2XT7-+3X^-=1.

0Z1U3Uo

9.、［2014•浙江卷］已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有小个红球和〃个蓝球

E23,〃23）,从乙盒中随机抽取〃？=1,2）个球放入甲盒中.

（a）放入/个球后，甲盒中含有红球的个数记为2。=1,2）；

（b）放入/个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为“（/=1,2）.

则(）

A.,

B..£（蠹）＞£（。）

C.n,＞。,£（入）＞£（打）

D..△熟）＜以上）

QOO1Qp2QrF

9.A[解析]方法一：不妨取卬=〃=3,此时，pi=-X-+-X-=~,^=-7X-+-TFX

bzbz4&35

2

2,19Q33C?ddC?

则P1>R；Mf1)=1X-+2X-=-,£(f2)=1X占+2X寸+3X^=2,则

3，6JJOOZLHCf；Cts

£(△)7(f2).故选A.

»、入一m2,n12m+nCi3.ClCl2,Cn1

方法—.：p\=-~工~,p尸不—乂三+不-+~2—X[=

m+n2m+n22urn-n)30+〃33

3后一3%+4他+〃2—〃

3(m+n)(ZZT+Z?-1)’

mn+n(〃-1)

则p\—pi—-------------------------------->0-

6(m+n)(®+77—1)'

E（外=1义鼎+2义in20+〃

ni-\-nm+n'

F2X衿3义会=

E(；2)=1

Carl-.v/jdH-z?CJH-/1

3/z/—3R+4+d—n

(m+ri')(勿+n-1)’

—m+m—mn

£(△)一£([2)<0,故选A.

C/n+n)(ZZ/+77—1)

18.,［2014•重庆卷］一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字

是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）1表示所取3张卡片上的数字的中位数，求小的分布列与数学期望.

（注：若三个数a,b,c满足a〈6Wc,则称6为这三个数的中位数）

C：+C5

18.解：（1）山古典概型中的概率计算公式知所求概率为々

C-84,

（2）1的所有可能值为1,2,3,且

dCs+d17

P{X=1)-Cj-=42，

CCC+C窕1+点43

P(>=2)=

Cs・84'

戏C；1

0(1=3)=

故才的分布列为

X123

17431

P

428412

y/入17I43,147

从而f(/O=1X—+2X—+3X—=—

o^t1ZZo

K3几何概型

14.>[2014•福建卷]如图1・4,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒

一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_______.

2

14.-[解析]因为函数y=lnx的图像与函数尸e'的图像关于正方形的对角线所在

e

直线尸x对称，则图中的两块阴影部分的面积为

e

S=2CJnx办=2(x/〃x—x)1=2[(e/〃e—e)—(In1—1)]=2,

11

2

故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P=T

后0,

7.[2014•湖北卷]由不等式组确定的平面区域记为0,不等式组

jx—2W0

、C确定的平面区域记为在化中随机取一点,则该点恰好在a内的概率为

x+y^—2

()

1137

A-8B-4C4D-8

7.D[解析]作出口，0表示的平面区域如图所示，

)/y-x-2=0

x+y=-2

「1111L-八173

Sm=5k.[如=]X2X2=2,见落万=]X1X]=7，贝ljS四边形/OEC=—S^BCE=2--=-故山

7

几何概型得，所求的概率—*罗=3=(•故选D.

D3/1ZO

14.[2014•辽宁卷]正方形的四个顶点加一1,-1),4(1,-1),C(l,1),〃(一1,

1)分别在抛物线尸=一/和尸f上，如图1-3所示.若将一个质点随机投入正方形/版中,

则质点落在图中阴影区域的概率是

图1-3

2

14.-［解析］正方形力筋的面积S=2X2=4,阴影部分的面积S=2.(1一方也=

-1

8

1Xo39

(X—故质点落在阴影区域的概率P=4=3,

K4互斥事件有一个发生的概率

17.、［2014•湖南卷］某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别

93

为§和g.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品笈设甲、乙两组的研发相互独立.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.

(2)若新产品4研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品笈研发成功，预计企

业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

17.解：记£=｛甲组研发新产品成功｝,尸=｛乙组研发新产品成功｝,由题设知

2132

-㈤P(玲PS

3355

且事件/与用E与F,E与F,“与少都相互独立.

192

⑴记H=｛至少有•种新产品研发成功｝,则H=EF,于是P(力=〃(£)P3=-X-=—,

3515

213

故所求的概率为P(田=1一P⑵=1一卷=苦.

Io10

(2)设企业可获利润为1(万元)，则1的可能取值为0,100,120,220.因为P(¥=0)=

/八122/〜131

,P{X=100)=P(EP)=-X-=-,

3515355

224

23?

?(>=220)=P(ER=oX7=7.

故所求的分布列为

X0100120220

2142

P

?55155

数学期望为

~讣八2「八八1……4।2300+480+13202100

^=0X-+100X-+120X-+220X-==140.

1515

16.、、［2014•天津卷］某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学

中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现

从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相

同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设才为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量才的分布列和数学期望.

16.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件4则

八C•C?+d•C?49

P{A)=-----------,

Cio60

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为方

(2)随机变量才的所有可能值为0,1,2,3.

cf•C受

/(『)=':(仁0,1,2,3),

Cio

所以随机变量1的分布列是

X0123

1131

P

62To30

随机变量才的数学期望£00=OX：+1X〈+2X得+3xJ；=2

ON1UoU0

K5相互对立事件同时发生的概率

17.、［2014•安徽卷］甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛

2

完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为可，乙获胜

的概率为:，各局比赛结果相互独立.

O

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；

(2)记才为比赛决出胜负时的总局数，求才的分布列和均值(数学期望).

17.解：用力表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，4表示“第4局甲获胜”，

21

员表示“第4局乙获胜”，则2(4)==，P⑻=q,k=l,2,3,4,5.

OO

⑴-(4)=P(A而+尸(8AA)+-(4544)=。(4)夕(4)+。(加。(㈤?(4)+

P(4)P⑻/(A)尸(4)=(1)2+卜断+

21化¥56

⑵开的可能取值为2,3,4,5.

5

夕(方=2)=0(4&+P(M=。(4)2(4)+夕(加P(B)=g,

P(>=3)=P(BiAiAj+。(4氏及)=

2

P的尸(4)尸(4)+P(4)P1BD尸(氏)

P(X=4)=P(4844)+=尸(4)尸(反)尸(4)夕(4)+P⑻P⑷P⑻，P®=

10

81，

g

夕(>=5)=1—P(X=2)一尸(1=3)一。(44)=—

ol

故1的分布列为

X2345

52108

P

998181

z,c5,c2,10,8224

£r=2X-+3X-+4X-+5X-^—

16.、［2014•北京卷］李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互

独立)：

场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数

主场12212客场1188

主场21512客场21312

主场3128客场3217

主场4238客场41815

主场52420客场52512

(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；

(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,

一场不超过0.6的概率；

(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记乃为李明在这

场比赛中的命中次数，比较打与x的大小.(只需写出结论)

16.解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，

分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.

所以在随机选择的•场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.

(2)设事件4为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件5

为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6"，事件C为“在随机选择

的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.

则C=4夙J",A,8相互独立.

根据投篮统计数据，以4=£,

55

=25-

所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不

13

超过0.6的概率为亚.

zb

⑶£¥=7.

17.、［2014•广东卷］随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单

位：件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,

49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组频数频率

[25,30]30.12

(30,35]50.20

(35,40]80.32

(40,45]n\fi

(45,50]fi

(1)确定样本频率分布表中s,m,£和6的值；

(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区

间(30,35］的概率.

20....［2014•湖北卷］计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50

年的水文资料显示，水年人申革1(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿

立方米)都在40以上，4市，木足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35

年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年

的年入流量相互独立.

⑴求未来4年中，至冬有1年的年入流量超过120的概率.

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量才

限制，并有如下关系：

年入流量才40<K8080W辰120»120

发电机最多

123

可运行台数

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损

800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

20.解：(1)依题意，n=/(40CK80)=L=0.2,

R=P(80W启120)===0.7,

5

p；=P(Z>120)=—=0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

3：l

p=d(l-A)'+C'l(l-p3)Ja=0.9'+4X0.9X0.1=0.9477.

(2)记水电站年总利润为K单位：万元).

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润『=5000,

£(丹=5000X1=5000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当40<*80时，一台发电机运行，此时7=5000-800=4200,因此夕(F=4200)

>

=/(40<^<80)=pl=0.2；当后80时，两台发电机运行，此时y=5000X2=10000,因此

p(r=ioooo)(庐80)=R+R=O.8.由此得y的分布列如下:

Y420010000

P0.20.8

所以,£(0=4200X0.2+10000X0.8=8840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40</80时，一台发电机运行，此时7=5000-1600=3400,因此AK=3400)

=P(40〈/80)=R=0.2；当80W启120时，两台发电机运行，此时^=5000X2-800=9200,

因此尸(Q9200)=P(80W后120)=A=0.7；当心120时，三台发电机运行，此时7=5000X3

=15000,因此夕(y=15ooo)=20>12。)=网=0.1.由此得y的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以，E{Y}=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

21.、、［2014•江西卷］随机将1,2,…，2〃(〃eN*,〃22)这2〃个连续正整数分成4

6两组，每组〃个数.力组最小数为国,最大数为&；6组最小数为打，最大数为医记f=

az—a>,Q=bi-b\*

(1)当〃=3时，求f的分布列和数学期望；

(2)令。表示事件“S与〃的取值恰好相等”，求事件C发生的概率一(。；

(3)对(2)中的事件G下表示C的对立事件，判断必。和P(Z)的大小关系，并说明理

由.

21.解：(1)当〃=3时，孑的所有可能取值为2,3,4,5.

将6个正整数平均分成46两组，不同的分组方法共有索=20(种)，所以；的分布列

为：

2345

1331

P

5ToTo5

13,317

E；=2X-+3X—+4X—+5X-=-

5101052

(2)f和〃恰好相等的所有可能取值为〃一1,n,n+1,2/7-2.

又孑和〃恰好相等且等于〃一1时，不同的分组方法有2种；

f和〃恰好相等且等于〃时I不同的分组方法有2种；

1和〃恰好相等且等于力+AG=1,2,…,力-2)523)时,不同的分组方法有2(1种.

42

所以当力=2时、

63

2(2+/上)

当〃23时，尸(。=二一.

⑶由⑵得，当〃=2时，2(。=/，因此P(O>P(。.而当〃》3时，pg4pg.

O

理由如下：

n-2

尸(。<2(0等价于4(2+E匿)①

k=\

用数学归纳法来证明：

(i)当〃=3时，①式左边=4(2+0=4(2+2)=16,①式右边=a=20,所以①式成立.

(ii)假设〃=卬(加)3)时①式成立，即

4(2+£二引©成立,

那么，当n=m+l时,

/E-2\/t、(20)I

左边=4(2+£4%)=4(2+£上+4Cj<CL+4Cj+

4•(2加一2)!(R+1)z(2加(2加一2)!(4m-l),

---------------------=-------------------------------------<

(/»—1)!(2Z7—1)!(zH-1)!(zzz+l)!

(加+1)2(2加(2/〃-2)!(4加

(叶1)!Y""*

(0+1)

2(次+1)加

<C以i+i>=右边,

(2加+1)(2m-1)

即当n—/n+l时，①式也成立.

综合(i)(ii)得，对于的所有正整数，都有以。＜?(。成立.

18.、、［2014•辽宁卷］一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的

频率分布直方图，如图1-4所示.

频率

W,

0.006-------------------------

0.005----------------

0.004.............................................

0.003--------

0.002..........................................................

O50―100—150—2m—250日销售:/个

图1-4

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的II销售量

低于50个的概率；

(2)用才表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量乃的分布列，期

望£(4及方差〃(心.

18.解：(D设4表示事件“日销售量不低于100个”，4表示事件“日销售量低于50

个”，8表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低

于50个”.因此

2(4)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,

P(4)=0.003X50=0.15,

P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.

(2)才可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为

孙了=0)=C§•(1-0.6尸=0.064,

Pgl)=C；•0.6(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=C1•0.62(l-0.6)=0.432,

夕(1=3)=C；•0.63=0.216.

才的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为h6(3,0.6),所以期望夙心=3X0.6=1.8,方差〃(a=3X0.6X(1—0.6)=

0.72.

20.、［2014•全国卷］设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为

0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)1表示同一工作日需使用设备的人数，求才的数学期望.

20.解：记4表示事件：同一工作日乙、丙中恰有，人需使用设备，，=0,1,2.

6表示事件：甲需使用设备.

C表示事件：丁需使用设备.

〃表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.

(1)因为尸(而=0.6,尸(0=0.4,尸(4)=C：X0.5?,7=0,1,2,

所以P(/J)=0(4•B-C+A2•B+A2•0=

?(4•B>0+AA•B)+AA•小。=

夕(4)P⑦P9+夕(4)P0+。(4)P出2(。=

0.31.

(2)一的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为

P(X=6=P0Av0

=P(0P(4)P(0

=(1-0.6)X0.52X(l-0.4)

=0.06,

P(X=D=P(B・4•C+B・4•C+B・4•0=

尸⑶尸(4)P(。+PSP⑷P(O+P(一尸(4)尸(。=0.6X0.52X