高考数学：圆锥曲线11大常考题型与近年真题汇总

高考数学：圆锥曲线11大常考题型与近年真题汇总

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识,

I.'*.：x=,y=其中工,『是点4（孙弘）.敬一.力）的中点坐标.

2.i.-I'.：8（..力）在直线y=fcr+b（&nO）上,

则y=hi+Ay,=tv:+b,这是M点纵恸枳林变换，•足两人斗”小变换技巧之.

网=他-看尸+（外一力尸=一&卜+（也-%］=皿+凡）5-xj

=J（l+&2）［（&+&f-4&xJ

或杳=«演-七尸+（%-）J=JJ%-%?尸+（x-yj=v+FX>,>7）：

=J。++力）J4另取）.

3、两条“线（：y=勺1+"4:y=K/+a用力［则&/［=-l

两条一浅垂直.—所在的向垠n・％=。

4、I》这定理：/；JL.次Z/fV"♦Zuc=0（〃工0）外两个不同的根A』,则$,与=匕<内=上.

aa

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

2vJ

例物I、已知直线=与楠/C:—x十乙=1始终有交点，求m的取值越9

4m

//L

解，根据声线/:y=Ax-l的方程可知.宜线忸过定点（0・1）・确网C:一—」=1过动点（0,士而）」［用工4.如

4m

22

果真线/:y=k・l书用阅C:土,工=1始终仃交点，则而21.Urn*4,即14,"H,”H4,

A***

♦律提示:通过直线的代数形式，可以看出宜战的特点:

/:y=H+ln过定点（0J）

/:>=£（<+l）n过定点（-1.0）

/：>>2=A（.t•l）n过定点（1,2）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点作H浅/与曲线N:./=》交3A、B网点，在'轴上是再存在点E（$.0）,使汨&4BE足缚

边三角形，若存在，求出与;若不存在,请说明理由.

解：依题意如，直线的斜率存在，且不等于存

设j'i线/:y=K（x+D，k*0,A（XQI）,fi（.Vj.y2）a

由"消>'然理，得二丁+（象？一l）x+3=0

①

由宜浅和地物浅交J网点，行A=（2&2-1--4r=-4k2+l>0

即0<Y<1

②

4

2k2-I2严-I_1_

由韦达定理,得：*+与=-j—.N对=1。则线段AB的中点为（一

2az'苏.

战段的重力平分线方程为:

-2Jt\.II

歹)令y=0Cx“=F-2

•••MBE为五角形,二E(-L-Lt))到亢线AB的即离d为虫|A8|,

2—2211

•••|A8|=/(x-x)2+(y,-y)2='Vl+A'd=

Al2igjj.

Ryji+H=业含解得k=±­满足②式此时％=-..

二k21川133

题型三：动弦过定点的问题

例题3、己知椭圆C：三+3=1（。>/>>0）的离心率为乂一，且在x轴

a1b22

上的顶点分别为Ai（20）,Aq0）.

<1）求椭圆的方程:

HI）若直线，：x=«/>2）与x轴交『点T,点P为直线/」异于点T的任

一点，直线PAiJW1分别与椭回交JM,N点，试问直战MN是衿通过椭

IS的焦点？并证明你的结论

W：<l）由」知蝇惆C的2心4，=£=史,=l.从而柄切的力程为£+/=1

a24,

f%

UIftttW(xy,).V(x.yj.。优A”的价本为K.则门线AM的方程为y4（K・2）,出

p;x,-4yl«4

骼性得(l+4£'*+l6t/+l&；-4=0v-21U.1,是力界的网个根..---2.r,=卅=则x,=土耳

I।1K।

,二氤•即C林力（瑞•品

同评.设北线A;N的外本为k：.则的.，，N的号除为(丝一；.—二)

1*44；I+-41；

vy.~*,(/♦2).v,k,(t-2)/.—_----♦•.,立段MN的方ft'为:，"'!=’：一''

k,+t,tx-xtx：—3

••.今产0.得XJ：将，，M、N的W标代入.化葡A；用：x=-

y,-y：t

<：i>2..-.o<i<2•.•«bi5!irr»<<,■,y<(V3.o>.-=V?.w/--

It3

MXI

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例坟4、LlJm.6A.B.C是椭阳E；工+£=1(a>Z>>0)上的二之.其小。A(2jlo)是椭依的力同。.直线BC

a1bl

注椭似的中心O.”元配U.|比卜2p?j.fcil--(D求。C的淤b及椭例E的力程；Uh匕帼囤E上〃《两力

P.Q,使得百线PC*j“陵QCKJ；l线x~yf3对称.RfixfcPQ的第6.

帽⑺•.［前卜2|3?|.HHC过摘Bl的，，心O

，冈|AC|vACRC01-/ACO三义，A<26,0}.JC的中标

2

为(46.

•.•A(26.0)史栖彷的人.，，：，'，..\“=2了,则桶以了出：上+二=

将e，C(A./)代人力限，冏b'=4.橘院E的方程&_L.2_-|

(n»v口或PC。1线QC%;直线人二G对称.

.-.设在相PC的同率为&.比口&QC的£1率为-k,yjtri线PC的方期为,

-V5=k(xy/i)>lipy=kx+-j3(l-k).illv=*1♦1/'U-*)jfjy,卷川行：

x--12=0

(I-3y)/+6>/j£(I-&)x+9N-18K-3=0•••x=6是〃埒的个根.

n9*--l8Jl-3PI1.9^-1网-3,皿..9妙+I8A-3

即”=两7词■所加%=而H

,,)7-y=kx°+®t")+与-瓜1+kLk(x,+%)2&k=-\2k

Q&a+3i)

9{-l故-39七+1弘-3--3.“-.%i

‘%=同+头b病+*‘)厨;"=

刖自绘PQ的斜率为定ffiq.

题型五：共线向量问题

例题5、设过*LX0.3)的了I线交曲线M：5+?=1JP.Q两点,H押二/说.求实数/的取值花札

»«apta^i।,X|®/»

解：设hti.yO.Qixj.yihQDP=//>(/\(力乎-3>=/(x?.yi-3>即,,,.

y(=3♦/(y.-3)

刘利式法、韦达定理法、配诙法

y=kx+3

设力战PQ的方程为：y=k・3/w0,由2,济y等理将.得

[4X2+9/=36

(4+9%：)x2+54tv*45=OvP.Q是曲浅M上的两点

.•.A=(54《尸4x45(4，9#)=144父8020叩9A‘N5①

54k45..(•，-AJ__2i_+七+

由韦达定理得:X,------------------=-------------------------

4+9A2'-4+必

542？(1+2尸,362”、4.4

-----------=-------.出---------=--------J4-—

45(4+982)A5(1+2尸9*29k2

由日制0<」r41,代入②、等评为I<3"一［.解之汨,<2<5

9K55(1+A)155

方力屐PQ的斜率不存在,即x=0时，班如12=5或2=g。

总之实效/的双位范川足1.5.

题型六：面积问题

^_+Z.=l<a>b>0>的离心率为亚、覆的个端点到4羔点的排离为JL

例踵6.已如确圉C：

a'b'3

<I)求物阳c的力火:

<11)设力缱I"椭re交于A、B两点,。杯依点O刎比畿I的斯周为且.求Z^AOB曲校的般人tfl.

2

帆(I)设懦物的半科即为C,侬吆惫£44..\b=|..•.所求椭圆方W为三+/

。33

II)设4(x/K).8(与，*)•“)当A8J_x轴时，|AB|=b,(2)%八8Ox轮小丽力时.

设仃浅八8的方程为v=liLLiilH-石.fym:=—(it:*1).

I**-"T4

把y=衣+/M代入然眼力耳.奈理得(3公)⑴/+64m<3〃J3=0.

3W!m'I2(m!-I)"

TpTJ-x/产：；二".=(I+R；乂&7f・(1+的

JA+I.软+1(3*2+l)J3JtJ+l

?:

12(/'+1)(3&'+1-阳')3(*+1X9*+1))I2F*12八zx,12

...........・■・--T.—.3，------：—=3.--------：-----(k*U)*<3*----------

(M：+l尸(.U:+lf9上、佻2+|“z上I人2x3+6

9K4-—*O

当且仅/9犬=±,即*=±3时券-成立，［《=0时，|A8|=有.

综I所述|人用“，=2.

；「|相|展人时.△*)8面枳取最人侑S=：x卜®*x*=*.

22

题型七：弦或弦长为定值问题

例题7、在平曲A角/标系xOy中,过定点C(0.p)作，线与帼物线d=2py(pXD相交于A.B两点,

-I7:点N是也C美J小标原心。的*J称心.求aANB面枳的端小心(II)是畲存於7Jy他的真找I，使得I

被以AC为(1径的例技行弦K恒为定值？若存ft..求出1的方程：Yi不存住.说明理1由.

1

消去y衬,2pkx・2P2.由韦达定理得%i*x2=2pk,X|X2=-2p\JJ£S,v1a,v=+SMCN=7-•2〃|。-x,|

y=kx+p.2

_小_x2|=+公尸-4/公=pj**?+8〃」=2。,+2.

.•・当A=0•付.(〉min=241M.

（D）假设满足条件的JIT线l存在•揖方程力尸“C的中点为0」与AC为直径的附相交于点P、Q.PQ的中点

为H.则O'H1PQ。'点的坐标为（+,丹上）vp'P|=mAC|=；JK；+（.Y「P）2=；〃：+/.

=3%-M_p］，|p〃『二口耳二|07/|2=1(>；+pb-；(勿-M-PY

244

故满足条件的克纹|疗

解法2.

<I)一同解法I.再由弦长公式袍

|AB|=Ji+A*-x,|=Ji+/-J(.+%)，-相与=Ji+《‘•J"*'+M

=2pVl+*I-V*I+2.

2p

乂由点到力战的距离公式用d=-l.

Ji+F

:

二;与氏=0时，（SMnv）max=2-j2p.

《II）假设满足条件的小纹l有色.其方程为产a.则以AC为Jtff的例的方程为

(*-OXx-x,)-(y-p)(y-yl)=O,将直。方程y=a代入。

x~-AjX-tfl-p)(a-yj=0.

则4(4p乂ay,)=4(a§)]'"'a(Pa)-

设直线1与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(X4,y4)M

2，4-f).n+“(p-a).

伊。|=,-”=p(a-^)y^a(p-a)

令”与=0.得“=f.此时闻=/，为定值，故满足条件的直线I存在，式方程为y二与

_22

即抛物线的通径所在的宜战。

题型八：角度问题

仅遢8.（如图（21）1g.MG2,0）和V<2,0）是平曲上的两点，动点。满足：俨时|I|/W|=6.<I）求点尸的

轨迹方程：(H>r,|PW|-|PV|=，求点尸的坐标.

I-cosZA/P.V

解:（I）由椭圆的定义，点尸的轨迹是以仇I,为焦点，长轴长2所6的椭囤

闪此半焦距-2,长半轴左3,从而梯芈轴

______22

by/a2-c2=45所以粕阳的方程为］-1•=1.

,W(-2.0lQ

2

型（“ffl（II）由|PM||/W|=----------.fy|P,WIIPN\cosMPN=IPM11W|-2.（T

I—cosMPN

因为cosMPNx"不为例圆长轴顶,点，故八乂V；构成角形.在△/“「】，|,WN|=4、由余弦定理有

MW=|「必「+归照-2|PW||PN|cosMPN.

将①代入亦得42=|P,W|J+|P,V|2-2(|P.W||P/V|-2).

故点尸在以KV为焦点，实轴长为2邪的双曲线事一》2=Ik.

XV

tillI）知.点户的平林义满足二+匚=I,所以

95

ill方程组度+9y:-45,解得[…埋

]_.r2+3y2=3.飞

即“点坐标为（空,直人海正）、<型,无）或"毡.无）.

22222222

题型九：四点共线问题

例题9、设椭阅C:W+齐=1(。>6>0)过点M(V2.1),H皆焦点为吊(72.0)

(T)求椭圆C的方程:

＜II)当过力/(4.I)的动fl战/。横图CMI交与四不同点A8时,在线网A8皿点Q.满足|研研=|阿|而|.

济明：点。总/某定直线上

W(DfilSfi：

c2=2

2j

2I.孵存/=4/=2,所求悌冏。H为工+工

—+7V®I

b”

c2=u2-b:

⑵方法

设点Q、A.B的中标分别为(x.y).(&.x)、(x?.yj.

■\PAQ

设如，斗|而而|.网力与，记2=1=1.则义＞0112*1

PH

乂A.P,B,Q四点九钱，从而丽=-4而，而=2丽

|=N二生

于是

1-2

、._»+4

>・I+Z

从而

正学》……⑵

(I)

1-万

又也A.B在桃网C上，即

x：+2＞：=4.........(3)

(I)♦(2)X2井结介(3).(4)W4J♦2y=4

即点Q(凡、)总。定口饯2x+y-2=0I:

方法一

设点O(M、).4.3J,H(公,)力由题设.网丽砌，画均不为手.

PAPB

II

XP.A.Q.8网点共线.可设同i=4而.丽=4而(Jtw0.±1).于足

4-Zrl-Ay

­>>■'=I-X(I)

4-fZx14-Zy

-I+A

由于A(KQJ,8(NX)。桶冽C上，(I).(2)分别代入C的力程./+2/=4、整理科

(A*+2『-4)2'-4(2N♦y-2)A*14=0(3)

(xz+2y:-4)r+4(2.t+y-2)x+14=0(4)

(4>一(3)得8(2x+y-2M=O

VA*O.A2x+y-2=O

即点Q(・3)总a定ft税2x+y-2=o上

题型十：范围问题(本质是函数问题)

设£、入分别是杯阕」一+『=1的左、在他

4

（I）着尸足该惆鬓1的个劝心,求丽­而的设大侑和盛，.

<II）设过"点”（0,2）的H线八，确囤交了不同的4小4、8.11-408为锐角（其中0为坐标原点），求rwu的

斜率A的取佰范惯.

W：<1）W；.;-：M如“=2/=I,<=J5所以F（-/10）.K（J10）,设P（x.y），则

Ph]•PF,=-.t,-yj,（V3-t.-yj=t;+r:-3=<'+l--^--3=q-（3.r:-8）

因为八4-2,2卜故与i=0,郢点。为根㈱如轴端.点时.西♦职仃最小他-2

Mx=±2,即点。为椭砌K轴瑞点时，西•玄仃最大值I

艇法：易知”=24=14=b,所以/<（-VIo）,工（J5.0）,设p（*.y）,则

西.职=阿.网3"人=网网㈣暮金红

=；［("可+y:+(.t->/3)+/-I2（以卜同饼法）

<IIJM然红湿1=0不满足甩设条件.可设九线八¥=匕-2,人（马小）,8（公,外）.

.4*3

••X+X,=---------r.X=-------r

"I।1

+-*-+-

44

由A=(4Ap-4[A.；[x3=4卜-3>0对：k或A>一半

又。"<ZAOB<90"ccosZAOfl>0<=>OAOR>0：.OAOB♦yty2>0

+

乂X'、=(^i2)(U\+2)=A\x>+2k(i(♦ij44二・"+■"「+4=・'+'

444

——+――->0,即-<4：.-2<k<2

22

*+lk+-

44

/7H

故由I.②得-2<AV-芋或芋v4v2

题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形

等）

例1:

设桶网E:工+1=1<a,h>0)过M12.-Jl>,N(而.1)两点，O为,公鼠点，

a*b1

(1)求IftBiE的方程:

“1)£古分在阳心，原点的％I,使得闻网他仃意条切线。格网E恒有各个交点AHHO/J1.。后?名存《.笃出该

瞄的方H,并求AB的取仙范也，若不存件说明理由.

2,

帆(I)囚为描阴E二+二=1abXD过M<2.壶).N(76.I)^A.

a'bl

H+2=iHif!=«t2

所以，/+/=忸司所以，"、=怖第E的为L+±=i

61,ll>-=484

、r•♦-IT三—

lab16-4

(2)G设存《於心”&大的4,仅N该网的任瑟条曲戈'序网£7有网介交点.4.8」1方，0瓦设也.同油切线

y=tc*m

""为y=h+k解。斤升/得『)2(匕♦nt)2=8,即(1+2k')x'+4kna+2m'-8=0,

一-=1

84

则/\占16£%/-4(1+2y)(2//-8)=8(&:-〃/+4)>0.图8--。>+4>0

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