第1课时　数列的概念及通项公式【 知识精讲+备课精思+拓展提升 】 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§4.1第1课时数列的概念及通项公式

第四章数列问题引入古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，

9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如右图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等。你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现。.新知探索数列的定义新知探索数列的定义提示：按照一定的顺序排列．新知探索数列的定义梳理

(1)按照

排列的

称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的

.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的

(通常也叫做

)，排在第二位的数称为这个数列的

……排在第n位的数称为这个数列的

.(2)数列的一般形式可以写成

，简记为

.一定顺序一列数项第1项首项第2项

第n项a1，a2，a3，…，an，…{an}新知探索数列的定义注意：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.新知探索数列的分类[提出问题]问题：观察上面4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列1中有6项，数列2中有4项，数列3、4有无穷多项；数列1中每一项都小于它的前一项，数列2中的项大小不确定，数列3中每一项都大于它的前一项，数列4中每一项都小于它的前一项．新知探索数列的分类梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做

数列，项数无限的数列叫做

数列.(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做

；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做

；各项相等的数列叫做

；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做

.有穷无穷递增数列递减数列常数列摆动数列新知探索数列的通项公式数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.典例精析题型一：数列的分类例1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()解A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.√典例精析题型一：数列的分类反思与感悟处理数列分类问题的技巧(1)有穷数列与无穷数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.(2)递增数列与递减数列①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小关系，依据定义进行判断；②由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低)，则图象呈上升(下降)趋势，即数列递增(减).典例精析题型二：归纳通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：解(1)这个数列的前4项的绝对值都是

序号的倒数，并且奇数项为正，

偶数项为负，典例精析题型二：归纳通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(3)9,99,999,9999；解

(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.(4)2,0,2,0.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*.典例精析题型二：归纳通项公式反思与感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.典例精析题型三：数列的通项公式典例精析题型三：数列的通项公式反思与感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.典例精析题型四：数列的图象例4已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.解

列表法给出这两个数列的前5项：它们的图象为：n12345an＝(－1)n·n－12－34－5an＝n21491625典例精析题型四：数列的图象反思与感悟基于数列的函数特点，数列可以看成以正整数n为自变量的函数，其通项公式可以看成解析式，则数列也可用列表与图象来进行表示．跟踪练习√1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项(

)A.380 B.39 C.32 D.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).∵380=19×20=19×(19+1),∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.跟踪练习√2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(

)A.19 B.20 C.21D.22解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2