高中数学北师大版2-3学案：第三章 1．1　回归分析-1．2　相关系数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1回归分析1.2相关系数学习目标1。会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系。2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度。3。掌握建立线性回归模型的步骤．知识点一线性回归方程思考（1)什么叫回归分析?（2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？梳理(1)平均值的符号表示假设样本点为（x1，y1)，（x2,y2),…,（xn，yn），在统计上,用eq\x\to（x)表示一组数据x1，x2，…，xn的平均值,即eq\x\to(x)＝______＝________；用eq\x\to(y）表示一组数据y1,y2，…，yn的平均值,即eq\x\to（y)＝______________＝______________。(2）参数a，b的求法b＝eq\f(lxy,lxx）＝____________＝____________，a＝________.知识点二相关系数思考1给出n对数据，按照公式求出的线性回归方程，是否一定能反映这n对数据的变化规律?思考2怎样通过相关系数刻画变量之间的线性相关关系？梳理(1)相关系数r的计算公式r＝eq\f(\o(∑，\s\up6(n），\s\do4（i＝1)）xiyi－n\x\to（x)\x\to（y),\r（\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4(i＝1））x\o\al（2,i）－n\x\to（x)2）\r(\o（∑,\s\up6（n）,\s\do4(i＝1）)y\o\al(2,i）－n\x\to(y)2））。(2)相关系数r的取值范围是________，｜r|值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r｜值越接近0，变量之间的线性相关程度越低．（3）当r〉0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．类型一概念的理解和判断例1有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y＝bx＋a可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4跟踪训练1下列关系中，是相关关系的是________．(填序号）①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．类型二回归分析命题角度1求线性回归方程例2某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1）请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a;（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．跟踪训练2某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y（元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：x3456789y66697381899091（1)求样本点的中心；(2）画出散点图；（3）求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．命题角度2线性回归分析与回归模型构建例3某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)（元）与日销售量y(台）之间有如下关系:x35404550y56412811（1）画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；（2）求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；(3）设经营此商品的日销售利润为P元，根据（2）写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．跟踪训练3某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1）求年推销金额y对工作年限x的线性回归方程；(2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．类型三相关系数的计算与应用例4现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩（x)与入学后第一次考试的数学成绩(y）如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系?跟踪训练4下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y（满分100），以及每天花在看电视上的平均时间x（小时)．看电视的平均时间x4.44.62.75.80。24。6心脏功能水平y525369578965（1）求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；(2）求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；(3）估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t）与相应的生产能耗y（t)的几组对应数据：x3456y2。5t44.5根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为（）A．3B．3.15C．3。5D．4。52．下表是x和y之间的一组数据,则y关于x的回归直线必过点（）x1234y1357A。（2，3)B．(1。5,4）C．（2.5，4)D．(2。5,5)3．一唱片公司欲知打歌费用x（十万元）与唱片销售量y（千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得如下的资料：eq\i\su（i＝1，10，x）i＝28，eq\i\su（i＝1，10，x)eq\o\al(2，i)＝303。4，eq\i\su（i＝1,10，y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10，y）eq\o\al（2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1，10,x）iyi＝237,则y与x的相关系数r的绝对值为________．4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱）与单位成本y（单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下:eq\x\to(x）＝eq\f(7,2），eq\x\to(y）＝71，eq\i\su(i＝1,6，x）eq\o\al(2,i)＝79，eq\i\su(i＝1,6，x）iyi＝1481。则销量每增加1000箱,单位成本下降________元．5．已知x、y之间的一组数据如下表：x0123y1357(1)分别计算：eq\x\to(x)、eq\x\to(y)、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al（2,2）＋xeq\o\al(2，3)＋xeq\o\al(2,4);(2）已知变量x与y线性相关，求出回归方程．回归分析的步骤(1）确定研究对象，明确哪个变量是自变量,哪个变量是因变量．(2）画出确定好的自变量和因变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）．（3）由经验确定回归方程的类型（如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)．(4）按一定规则估计回归方程中的参数．

答案精析问题导学知识点一思考（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．（2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值,例如，人的体重与身高存在一定的线性关系,但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响,如饮食、是否喜欢运动等．梳理(1）eq\f（x1＋x2＋…＋xn,n）eq\f（1,n)eq\i\su(i＝1，n,x）ieq\f(y1＋y2＋…＋yn,n）eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1，n，y)i(2）eq\f（\i\su(i＝1，n,）xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su（i＝1,n,)xi－\x\to（x)2)eq\f（\i\su（i＝1,n,x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\i\su(i＝1，n,x）\o\al(2，i）－n\x\to（x)2）eq\x\to（y）－beq\x\to(x)知识点二思考1如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近，这条直线就能反映这n对数据的变化规律,否则求出的方程没有实际意义．思考2｜r|值越接近1，变量之间的线性相关程度越高；|r｜值越接近0，变量之间的线性相关程度越低；当r＝0时，两个变量线性不相关．梳理(2)[－1，1]（3)>〈题型探究例1C跟踪训练1②④例2解（1）散点图如图．（2)因为eq\i\su(i＝1,4，x）iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4）＝9,eq\x\to(y)＝eq\f（2＋3＋5＋6，4)＝4，eq\i\su（i＝1,4,x)eq\o\al（2，i)＝62＋82＋102＋122＝344，所以b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f（14，20）＝0.7,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x）＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0。7x－2。3.（3)由（2）中线性回归方程可知，当x＝9时,y＝0.7×9－2。3＝4,所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4。跟踪训练2解(1）eq\x\to（x）＝6，eq\x\to(y)≈79.86,样本点的中心为(6,79。86）．（2）散点图如下:（3)因为eq\i\su(i＝1,7，x）iyi＝3487，eq\i\su(i＝1,7,x）eq\o\al（2，i）＝280，所以b＝eq\f（\i\su(i＝1,7，x）iyi－7\x\to(x）\x\to（y）,\i\su（i＝1,7，x）\o\al(2，i)－7\x\to(x)2）＝eq\f(3487－7×6×79.86,280－7×62)≈4。75.a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）≈51。36，所以y＝4。75x＋51。36。例3解(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．（2）因为eq\x\to(x）＝eq\f（1，4）×(35＋40＋45＋50）＝42.5,eq\x\to（y)＝eq\f（1，4）×(56＋41＋28＋11）＝34.eq\i\su(i＝1，n,x）iyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5410。eq\i\su（i＝1，4,x)eq\o\al(2,i)＝352＋402＋452＋502＝7350.所以b＝eq\f（\i\su（i＝1,4，x)iyi－4\x\to(x）\x\to(y）,\i\su(i＝1，4，x）\o\al(2，i）－4\x\to(x)2）＝eq\f(5410－4×42.5×34，7350－4×42。52)＝eq\f（－370，125)≈－3.a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x)＝34－（－3)×42.5＝161.5。所以线性回归方程为y＝161。5－3x.（3)依题意，有P＝（161。5－3x）(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3(x－eq\f（251.5,6））2＋eq\f(251。52，12）－4845。所以当x＝eq\f(251.5，6)≈42时，P有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．跟踪训练3解(1）设所求的线性回归方程为y＝a＋bx，则b＝eq\f(\i\su（i＝1，5,）xi－\x\to(x）yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5，）xi－\x\to（x)2）＝eq\f（10，20)＝0.5，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x)＝0。4。∴年推销金额y对工作年限x的线性回归方程为y＝0.4＋0。5x.（2)当x＝11时，y＝0。4＋0.5×11＝5。9(万元），∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5。9万元．例4解eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to（y)＝eq\f(1,10）(84＋64＋…＋57＋71）＝68，eq\i\su（i＝1，10,x)eq\o\al（2，i）＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su（i＝1，10,y)eq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1，10,x）iyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数r＝eq\f（73796－10×107。8×68，\r（116584－10×107.8247384－10×682)）≈0.7506.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．跟踪训练4解n＝6，eq\x\to（x)＝eq\f(1,6）（4。4＋4.6＋…＋4。6)≈3。7167,eq\x\to（y）＝eq\f（1,6）（52＋53＋…＋65）≈64.1667，eq\i\su(i＝1，6,x）eq\o\al（2，i)－6eq\x\to（x）2＝(4。42＋4。62＋…＋4。62)－6×3.71672≈19.7668，eq\i\su(i＝1,6,y）eq\o\al（2,i）－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋…＋652）－6×64。16672≈964.8077,eq\i\su(i＝1,6，x)iyi－6eq\x\to（x）eq\x\to（y）＝（4.4×52＋4.6×53＋…＋4。6×65）－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.（1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相